Question

7 Розв’язати задачу Коші у' — 2x = x · e2x²; y(0) = 2 ДОПОМОЖІТЬ ! БУДЬ ЛАСКА ​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Дане диференціальне рівняння можна вирішити за допомогою методу інтегрування фактора.

Почнемо зі складання інтегруючого множника. Інтегруючий множник - це функція, на яку множиться диференціальне рівняння, щоб ліву частину можна було записати як похідну добутку цієї функції і правої частини рівняння.

Для даного рівняння, інтегруючим множником є експонента e^(∫(-2x)dx) = e^(-x^2). Множимо обидві частини рівняння на цей множник:

e^(-x^2) * y' - 2x * e^(-x^2) * y = x * e^(2x^2) * e^(-x^2).

Замінюємо перший доданок зліва згідно правила ланцюжкового правила:

(d(e^(-x^2) * y) / dx) = x * e^(2x^2 - x^2) = x * e^x^2.

Інтегруємо обидві частини відповідно до змінної x:

∫(d(e^(-x^2) * y) / dx) dx = ∫(x * e^x^2) dx.

e^(-x^2) * y = ∫(x * e^x^2) dx.

Зараз ми можемо обчислити інтеграл ∫(x * e^x^2) dx, використовуючи підстановку інтегрування:

Поклавши t = x^2, отримуємо dt = 2x dx. Підставимо ці значення у вираз:

∫(x * e^x^2) dx = (1/2) * ∫e^t dt = (1/2) * e^t + C = (1/2) * e^(x^2) + C.

Повертаємось до рівняння:

e^(-x^2) * y = (1/2) * e^(x^2) + C.

Розділимо обидві частини на e^(-x^2):

y = (1/2) * e^(2x^2) + C * e^(x^2).

Використовуючи початкову умову y(0) = 2, підставимо x = 0 та y = 2 у вираз:

2 = (1/2) * e^(2 * 0^2) + C * e^(0^2)

Answer 2

Задача Коші полягає в знаходженні функції $y(x)$, яка задовольняє диференціальне рівняння та початкові умови. У цьому випадку ми маємо наступне диференціальне рівняння:

$$\frac{{dy}}{{dx}} - 2x = x \cdot e^{2x^2}$$

Початкова умова:

$y(0) = 2$

Давайте спробуємо розв'язати це рівняння. Спочатку розділимо обидві сторони на $dx$:

$$\frac{{dy}}{{dx}} = 2x + x \cdot e^{2x^2}$$

Тепер інтегруємо обидві сторони:

$$\int dy = \int (2x + x \cdot e^{2x^2})dx$$

$$y(x) = x^2 + \int (x \cdot e^{2x^2})dx$$

Для обчислення інтегралу $\int (x \cdot e^{2x^2})dx$ введемо заміну $u = 2x^2$, тобто $du = 4x \cdot dx$. Тоді:

$$\int (x \cdot e^{2x^2})dx = \frac{1}{4} \int e^u du$$

Тепер інтегруємо відносно $u$:

$$\frac{1}{4} \int e^u du = \frac{1}{4} \cdot e^u + C = \frac{1}{4} \cdot e^{2x^2} + C$$

Підставимо це значення назад у вираз для $y(x)$:

$$y(x) = x^2 + \frac{1}{4} \cdot e^{2x^2} + C$$

Для знаходження константи $C$, використаємо початкову умову $y(0) = 2$:

$$2 = 0^2 + \frac{1}{4} \cdot e^{2 \cdot 0^2} + C$$

$$2 = 0 + \frac{1}{4} \cdot 1 + C$$

$$2 = \frac{1}{4} + C$$

Тепер віднімемо $\frac{1}{4}$ від обох сторін:

$$C = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$$

Отже, отримуємо розв'язок задачі Коші:

$$y(x) = x^2 + \frac{1}{4} \cdot e^{2x^2} + \frac{7}{4}$$