Question

Правила нахождения производных

Answer 1

Доброе утро!

Правило нахождения производных: чтобы найти производную произвидения двух функций, надо к призвиднеию производной первой функции, и второй функции, прибавить произвидение первой функции и производной второй функции.

Answer 2

Нахождение производных является важной частью дифференциального исчисления. Производная функции показывает, как быстро функция меняется в каждой точке своей области определения. Вот основные правила нахождения производных:

1. Правило степеней:

   • Если f(x) = x^n, где n - константа, то f'(x) = n * x^(n-1). Примеры:
   • f(x) = x^2, f'(x) = 2x.
   • f(x) = x^3, f'(x) = 3x^2.

2. Правило суммы и разности:

   • Если f(x) = g(x) + h(x), то f'(x) = g'(x) + h'(x).
   • Если f(x) = g(x) - h(x), то f'(x) = g'(x) - h'(x). Пример:
   • Если f(x) = 2x^2 + 3x - 1, то f'(x) = 4x + 3.

3. Правило произведения (производная произведения):

   • Если f(x) = g(x) * h(x), то f'(x) = g(x) * h'(x) + g'(x) * h(x). Пример:
   • Если f(x) = x^2 * (3x - 1), то f'(x) = x^2 * 3 + 2x * (3x - 1).

4. Правило частного (производная частного):

   • Если f(x) = g(x) / h(x), то f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2. Пример:
   • Если f(x) = (2x^2 + 3x) / x, то f'(x) = (2x * x - (2x^2 + 3x) * 1) / x^2.

5. Правило композиции (правило цепочки):

   • Если f(x) = g(h(x)), то f'(x) = g'(h(x)) * h'(x). Пример:
   • Если f(x) = (3x^2 + 1)^2, то f'(x) = 2 * (3x^2 + 1) * (6x).

6. Правило константы:

   • Если f(x) = c, где c - константа, то f'(x) = 0. Константы не влияют на скорость изменения функции.

7. Правило экспоненты и логарифма:

   • Если f(x) = e^x, то f'(x) = e^x.
   • Если f(x) = ln(x), то f'(x) = 1/x.

8. Правило синуса и косинуса:

   • Если f(x) = sin(x), то f'(x) = cos(x).
   • Если f(x) = cos(x), то f'(x) = -sin(x).

Эти основные правила помогают находить производные различных функций. При работе с более сложными функциями может потребоваться комбинирование нескольких из этих правил.