Question

6. Знайти об'єм тіла, обмеженого вказаними поверненнями. Зробити кресменя. x = 4-x² x^2+ y^2 = 4,z =0 ​

Answer 1

Відповідь:

4π

Покрокове пояснення:

Для знаходження об'єму тіла, обмеженого заданими поверхнями, ми можемо використовувати подвійний інтеграл. У цьому випадку поверхні обмежують область в площині x-y.

Задані поверхні:

x = 4 - x^2

x^2 + y^2 = 4

z = 0

Спершу знайдемо перетин цих двох поверхонь. Почнемо з другої поверхні:

x^2 + y^2 = 4

Це рівняння описує коло радіусом 2 і центром в початку координат (0,0). Тепер розглянемо першу поверхню:

x = 4 - x^2

Ця поверхня описує параболу, яка відкривається вниз. Давайте знайдемо її точки перетину з попередньою поверхнею:

4 - x^2 = x^2 + y^2

Підставимо x^2 + y^2 з другої поверхні:

4 - x^2 = 4

Тепер віднімемо 4 від обох боків:

-x^2 = 0

Тут ми бачимо, що ця парабола перетинає попередню поверхню в точках x = 0 і x = 2. Тобто, ми маємо дві області, обмежені цими поверхнями: одна між x = 0 і x = 2, інша - за межами цих точок.

Тепер ми можемо використовувати подвійний інтеграл для знаходження об'єму тіла, обмеженого цими поверхнями:

V = ∬_D dV,

де D - область в площині x-y, обмежена цими поверхнями.

Оскільки наша функція z = 0, об'єм тіла просто рівний площині D:

V = ∬_D dA.

Тепер давайте обчислимо цей подвійний інтеграл за допомогою полярних координат, оскільки область має кругову симетрію:

V = ∫[0 to 2π] ∫[0 to 2] r dr dθ.

Зараз обчислимо цей інтеграл:

V = ∫[0 to 2π] ∫[0 to 2] r dr dθ

= 2π * [1/2 * r^2] | from 0 to 2

= π * (2^2 - 0^2)

= 4π.

Отже, об'єм тіла, обмеженого заданими поверхнями, дорівнює 4π кубічних одиниць

Answer 2

Для знаходження об'єму тіла, обмеженого вказаними поверненнями, ми можемо використовувати інтегральний метод. В даному випадку, вам потрібно обчислити потрібний інтеграл подвійний інтеграл на заданому обмеженому просторі.

Спочатку давайте подивимося на обмеження:

1. Рівняння x = 4 - x^2 описує параболу, відрізану на відрізку [0, 2] в межах x.
2. Рівняння x^2 + y^2 = 4 описує коло радіусом 2 в площині XY.
3. z = 0 означає, що обмеження розташоване в площині XY.

Тепер давайте знайдемо об'єм цього тіла, використовуючи подвійний інтеграл:

V = ∬_D dV,

де D - обмеження в площині XY, а dV - об'ємний елемент.

Ми будемо використовувати полярні координати для інтегрування над цим обмеженням:

x = r cos(θ) y = r sin(θ)

Тоді обмеження D в полярних координатах буде виглядати так:

0 ≤ r ≤ 2 (від 0 до радіуса кола) 0 ≤ θ ≤ π/2 (від 0 до півкола)

Тепер ми можемо знайти dV:

dV = dx dy dz = (dx dy) dz = r dr dθ dz

Тепер ми готові підставити це в наш інтеграл:

V = ∫(from 0 to π/2) ∫(from 0 to 2) ∫(from 0 to 1) r dr dθ dz

Тепер давайте обчислимо цей інтеграл:

V = ∫(from 0 to π/2) ∫(from 0 to 2) ∫(from 0 to 1) r dr dθ dz V = ∫(from 0 to π/2) [1/2 * r^2] (from 0 to 2) dz V = ∫(from 0 to π/2) [2] dz V = 2z |(from 0 to 1) V = 2

Отже, об'єм тіла, обмеженого вказаними поверненнями, дорівнює 2 кубічним одиницям.