Question

6. Розв'язати тригонометричне рiвняння. 4sin2x- 4 cosx-1=0​

Answer 1

Давайте розв'яжемо дане тригонометричне рівняння 4sin^2(x) - 4cos(x) - 1 = 0.

Спочатку використаємо тригонометричні тотожності для заміни sin^2(x) та cos^2(x):

1. sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Звідси отримуємо sin^2(x) = 1 - cos^2(x).

Підставимо це у наше рівняння:

4(1 - cos^2(x)) - 4cos(x) - 1 = 0

Розкриємо дужки та спростимо рівняння:

4 - 4cos^2(x) - 4cos(x) - 1 = 0

Тепер перенесемо всі члени на одну сторону:

-4cos^2(x) - 4cos(x) + 3 = 0

Поділимо обидві сторони на -1, щоб змінити знаки:

4cos^2(x) + 4cos(x) - 3 = 0

Тепер уведемо нову змінну, наприклад, y = cos(x), тоді рівняння стає квадратним:

4y^2 + 4y - 3 = 0

Розв'яжемо це квадратне рівняння за допомогою квадратного рівняння:

D = b^2 - 4ac, де a = 4, b = 4 і c = -3.

D = 4^2 - 4 * 4 * (-3) = 16 + 48 = 64

Знаючи дискримінант, ми можемо знайти значення y:

y₁ = (-b + √D) / (2a) = (-4 + √64) / (2 * 4) = ( -4 + 8) / 8 = 4/8 = 1/2

y₂ = (-b - √D) / (2a) = (-4 - √64) / (2 * 4) = (-4 - 8) / 8 = -12/8 = -3/2

Тепер ми повертаємося до нашої початкової змінної:

1. y = cos(x) => cos(x) = 1/2
2. y = cos(x) => cos(x) = -3/2

Зауважимо, що косинус x може бути лише в межах [-1, 1], тому друге рівняння cos(x) = -3/2 не має розв'язків.

Тепер знайдемо розв'язки першого рівняння:

1. cos(x) = 1/2

Щоб знайти значення x, ми можемо використовувати тригонометричні значення для кутів, для яких косинус дорівнює 1/2. Такі кути мають місце при x = π/3 + 2πn і x = 5π/3 + 2πn, де n - це ціле число.

Отже, розв'язок рівняння:

x = π/3 + 2πn, де n - ціле число.