Question

Чтобы обсудить последние новости, 37.0 приятелей решили встретиться в кафе. Каждый заказал себе лимонад, но не более двух бокалов. Причём те, кто заказал два бокала, выбрали разные вкусы. В кафе подавали лимонады трёх различных вкусов. Оказалось, что для любой пары приятелей вкусы совпали хотя бы для одного бокала, а самый популярный вкус выбрали ровно k приятелей. Определите наименьшее возможное значение k. Примечание: самых популярных вкусов может быть несколько, когда каждый из этих вкусов выбирается одинаковым количеством приятелей.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Для определения наименьшего возможного значения k, давайте разберемся в ситуации. У нас есть 37 приятелей, и каждый может заказать не более двух бокалов. При этом у нас есть 3 различных вкуса лимонада.

Допустим, что самый популярный вкус лимонада выбрали k приятелей. Теперь давайте рассмотрим ситуацию, когда все k приятелей выбрали разные вкусы. Это означает, что каждый из этих k приятелей выбрал разный вкус, и никакие два из них не выбрали одинаковый вкус.

Сначала рассмотрим первого приятеля, который выбрал один из трех вкусов. Затем второй приятель может выбрать любой из оставшихся двух вкусов (потому что нельзя выбрать тот же вкус, что и первый приятель). Третий приятель может выбрать один из оставшихся двух вкусов, четвертый приятель - опять же один из двух оставшихся вкусов, и так далее.

Таким образом, количество возможных комбинаций вкусов для k приятелей будет равно:

3 * 2 * 2 * 2 * ... * 2 (k раз).

Это можно представить как 3 * 2^(k-1).

Теперь мы знаем, что это количество комбинаций вкусов равно k (потому что каждый из k приятелей выбрал разный вкус). Таким образом, у нас есть уравнение:

3 * 2^(k-1) = k.

Мы можем решить это уравнение для k. Давайте начнем с k = 1 и увеличиваем его, пока не найдем наименьшее значение, которое удовлетворяет уравнению:

3 * 2^(k-1) = k.

Попробуем k = 1:

3 * 2^(1-1) = 3 * 2^0 = 3 * 1 = 3 ≠ 1.

Попробуем k = 2:

3 * 2^(2-1) = 3 * 2^1 = 3 * 2 = 6 ≠ 2.

Попробуем k = 3:

3 * 2^(3-1) = 3 * 2^2 = 3 * 4 = 12 ≠ 3.

Попробуем k = 4:

3 * 2^(4-1) = 3 * 2^3 = 3 * 8 = 24 ≠ 4.

Попробуем k = 5:

3 * 2^(5-1) = 3 * 2^4 = 3 * 16 = 48 ≠ 5.

Продолжая увеличивать k, мы видим, что наименьшее значение k, которое удовлетворяет уравнению, равно 6.

Итак, наименьшее возможное значение k равно 6.

Answer 2

Давайте рассмотрим это задание.

Пусть A, B и C - три различных вкуса лимонада, которые предлагаются в кафе. Мы хотим определить наименьшее возможное значение k, так что самый популярный вкус выбрали ровно k приятелей.

Предположим, что k = 1. Это означает, что каждый из 37 друзей заказал разный вкус лимонада (иначе совпадение будет хотя бы для одного бокала). Теперь давайте посмотрим, сколько различных способов выбрать 1 вкус из 3 доступных (количество способов выбора самого популярного вкуса).

C(3, 1) = 3 способа.

Теперь давайте рассмотрим, сколько способов остальным приятелям выбрать второй вкус из оставшихся двух:

C(2, 1) * C(2, 1) = 4 способа.

Итак, общее количество способов, которыми 37 друзей могли бы выбрать лимонады, если k = 1, равно 3 * 4 = 12 способам.

Теперь рассмотрим случай, когда k = 2. Это означает, что два из 37 приятелей выбрали один и тот же вкус лимонада. Сначала давайте выберем самый популярный вкус:

C(3, 1) = 3 способа.

Теперь давайте выберем двух друзей, которые выбрали этот вкус:

C(37, 2) = 666 способов.

Теперь давайте определим, какие другие вкусы могут выбрать оставшиеся 35 друзей, чтобы удовлетворить условие задачи (для любой пары приятелей вкусы совпали хотя бы для одного бокала). Они могут выбрать два из оставшихся двух вкусов:

C(2, 2) = 1 способ.

Итак, общее количество способов, которыми 37 друзей могли бы выбрать лимонады, если k = 2, равно 3 * 666 * 1 = 1998 способам.

Теперь сравним результаты: 12 способов при k = 1 и 1998 способов при k = 2. Наименьшее возможное значение k - это 1.

Таким образом, наименьшее возможное значение k равно 1.