Question

14) найдите сумму целых значений а, при которых функция  возрастает для всех значений x 15) решить неравенство >023)   сколько нулей имеет функция: , на отрезке [0;3π]?27)   вычислите sin(2arctg2)

Answer 1

14. y' = 3x^2 - 6(a + 2)x + 3 = 3(x^2 - 2(a + 2)x + 1) должно быть больше нуля для всех, это выполнится, если дискриминант трехчлена, стоящего в скобах, будет меньше нуля.
D/4 = (a + 2)^2 - 1 < 0
-1 < a + 2 < 1
-3 < a < -1
Сумма = -2

15. Т.к. корень - величина неотрицательная, решение - все точки, для которых 2 - x - x^2 > 0 (тогда корень существует и не равен нулю) и x + 5 > 0.
Для всех точек решения первого неравенства (-2, 1) второе неравенство выполняется.
Ответ. (-2, 1)

23. Количество нулей (без учета кратностей)  такое же, как и у функции g = sin(2x + pi/4). При изменении x: 0 -> 3pi аргумент синуса изменяется на 6pi, т.е. на 3 периода. Т.к. x = 0 и x = 3pi - не нули, то всего нулей в 3 раза больше, чем на одном периоде. Ну, а как известно, на [0, 2pi) синус обнуляется 2 раза.
Ответ. 6

27. Пусть tg x = 2, 0 < x < pi/2. Необходимо найти sin(2x).
Найдем сначала cos^2(x), sin^2(x).
Т.к. 1 + tg^2(x) = 1/cos^2(x), то cos^2(x) = 1/(1 + 2^2) = 1/5 и sin^2(x) = 1 - 1/5 = 4/5.
sin^2(2x) = 4sin^2(x)cos^2(x) = 16/25
Т.к. sin(2x) > 0 при 0 < x < pi/2, то sin(2x) = +sqrt(16/25) = 4/5

Answer 2

14. Чтобы функция была возрастающей для всех значений x, её производная должна быть положительной для всех x. Таким образом, мы должны решить неравенство:

f'(x) > 0

Где f(x) - ваша функция. Без знания функции невозможно точно ответить на этот вопрос.

15. Вы не предоставили само неравенство. Пожалуйста, укажите его, и я помогу вам решить его.

16. Для определения количества нулей функции на отрезке [0; 3π] необходимо знать саму функцию. Без этой информации нельзя дать точный ответ.

17. Чтобы вычислить sin(2arctan(2)), сначала найдем значение арктангенса (тангенс обратный):

arctan(2) ≈ 1.1071

Затем умножим это значение на 2:

2 * 1.1071 ≈ 2.2142

Теперь вычислим синус этого угла:

sin(2.2142) ≈ 0.8415

Итак, sin(2arctan(2)) приближенно равен 0.8415.