Question

Решить уравнение: 4sinx+5cosx=0

Answer 1

Это однородное тригонометрическое уравнение ,поэтому делим его обе части на cosx 
получаем: 4sinx/cosx-5cosx/cosx=0
                 4tgx+5=0
                    tgx=-5/4
                    x=arctg(-5/4)+Пn, n∈ Z
                    x=-arctg5/4+Пn, n∈ Z
это и будет ответ

Answer 2

Для решения уравнения 4sin(x) + 5cos(x) = 0, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами.

Сначала разделим обе стороны уравнения на sqrt(4^2 + 5^2) = sqrt(16 + 25) = sqrt(41):

(4sin(x) + 5cos(x)) / sqrt(41) = 0

Теперь используем следующее тригонометрическое тождество для суммы углов sin(x + θ) = sin(x)cos(θ) + cos(x)sin(θ), где θ - угол, который мы хотим найти:

sin(x + θ) = 0

Это уравнение будет равно нулю, если sin(x + θ) = 0. Это произойдет, когда x + θ равно кратным π (так как sin(π) = 0). Таким образом:

x + θ = nπ

где n - целое число.

Теперь найдем значение θ, используя следующее тригонометрическое тождество для cos(x + θ) = cos(x)cos(θ) - sin(x)sin(θ):

cos(x + θ) = 0

Как и ранее, это уравнение будет равно нулю, если x + θ равно кратным π/2 (так как cos(π/2) = 0). Таким образом:

x + θ = m(π/2)

где m - целое число.

Теперь у нас есть система уравнений:

1. x + θ = nπ
2. x + θ = m(π/2)

Мы можем решить эту систему уравнений, выразив θ из обоих уравнений:

1. θ = nπ - x
2. θ = m(π/2) - x

Теперь установим равенство между двумя выражениями для θ:

nπ - x = m(π/2) - x

Теперь упростим это уравнение, убрав "-x" с обеих сторон:

nπ = m(π/2)

Теперь мы можем найти значения n и m, при которых это уравнение выполняется. Для этого мы можем подставить различные значения n и m:

1. Если n = 2 и m = 4, то уравнение выполняется: 2π = 4(π/2).
2. Если n = 1 и m = 2, то уравнение также выполняется: π = 2(π/2).

Таким образом, есть два набора значений n и m, при которых уравнение 4sin(x) + 5cos(x) = 0 выполняется. Это означает, что есть два набора решений для x:

1. x = 2π - θ, где θ = 4(π/2) = 2π.
2. x = π - θ, где θ = 2(π/2) = π.

Итак, у нас есть два решения:

1. x = 2π - 2π = 0
2. x = π - π = 0

Таким образом, уравнение 4sin(x) + 5cos(x) = 0 имеет два решения: x = 0.