Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на [0;2] f(x)=2/3x^3+1/2x^2-2

Answer 1

Ищем производную
f ' (x) = 2x^2 + x,
приравниваем ее к нулю и находим экстремумы функции
2x^2 + x = x*(2x+1)=0, x = 0 или x= - 1/2.
Находим значение функции в найденных точках и на концах отрезка:
f(0) = -2, f(-1/2) = -1/12 + 1/8 -2 = -47/24, f(2) =16/3 + 2 -2 =16/3
Наибольшее значение 16/3, наименьшее -2

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2$ на интервале $[0, 2]$, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = 2x^2 + x$

2. Решим уравнение $f'(x) = 0$, чтобы найти критические точки функции: $2x^2 + x = 0$

Это квадратное уравнение можно решить, используя метод дискриминанта или факторизацию. Давайте воспользуемся факторизацией: $x(2x + 1) = 0$

Отсюда получаем два значения $x$: $x_1 = 0$ $x_2 = -\frac{1}{2}$

3. Теперь найдем значения функции $f(x)$ в критических точках и на границах интервала $[0, 2]$:

   a. $f(0) = \frac{2}{3}(0^3) + \frac{1}{2}(0^2) - 2 = -2$ b. $f(2) = \frac{2}{3}(2^3) + \frac{1}{2}(2^2) - 2 = \frac{16}{3} + 2 - 2 = \frac{16}{3}$ c. $f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^3 + \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 2 = -\frac{11}{12}$

Таким образом, наименьшее значение функции на интервале $[0, 2]$ равно $-\frac{11}{12}$, а наибольшее значение равно $\frac{16}{3}$.