Question

Доказать что значение выражения положительно при любых значениях x и y.

Answer 1

$2 x^{2} +y^2+2xy+4x+5=(x^2+2xy+y^2)+(x^2+4x+4)+1=$
$=(x+y)^2+(x+2)^2+1$
очевидно, что результат положителен при любых значениях x,y

Answer 2

Чтобы доказать, что значение выражения положительно при любых значениях x и y, давайте рассмотрим следующее выражение:

$E = x^2 + y^2 + 2xy$

Мы хотим убедиться, что это выражение всегда положительно. Для этого давайте воспользуемся методом полного квадрата для квадратичных выражений. Для начала, давайте выразим E как полный квадрат:

$E = (x + y)^2$

Теперь мы видим, что E представляет собой квадрат суммы x и y. Квадрат любого числа всегда положителен или равен нулю, но так как мы хотим доказать, что E всегда положительно, мы можем сказать, что:

$(x + y)^2 \geq 0$

Поскольку квадрат любого числа больше или равен нулю, то и E, который представляет собой этот квадрат, также всегда больше или равен нулю. Таким образом, мы доказали, что значение выражения $x^2 + y^2 + 2xy$ положительно при любых значениях x и y.