Question

Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на одном из оснований трапеции. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности равен 3 см., а один из углов трапеции - 120 градусов.

Answer 1

Делаем рисунок, как в приложении.
РЕШЕНИЕ
Площадь трапеции по формуле
S = (a+b)*h/2
a = 2*R = 6 см -  большее основание.
∠АСВ = 90° -опирается на диаметр.
∠АВС + ∠BCD = 180 - смежные между параллельными AB || CD.
∠АВС = 60°
∠ВАС = 180 - 90 - 60 = 30°- вспоминаем - sin 30 = 0.5
ВС= АВ*sin30 = AB/2 = 3 см - боковая сторона.
ВЕ = ВС*sin30 = 1.5 см
b = a - 2*BE = 6 - 2*1.5=3 - малое основание.
h = BC*cos 30 = 3√3/2 ~ 0.866 - высота.
Подставим в формулу площади
S =1/4*(6+3)*3√3 = 27/4*√3  = 6,75*√3 ~ 11.7 см² - ОТВЕТ

Answer 2

Для решения этой задачи давайте воспользуемся свойствами трапеции и окружности.

1. Поскольку центр окружности, описанной около трапеции, лежит на одном из оснований трапеции, это означает, что радиус окружности перпендикулярен к этому основанию. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник, в котором один угол равен 90 градусов, а гипотенуза равна радиусу окружности, т.е., 3 см.

2. Один из углов трапеции равен 120 градусам. Этот угол расположен на одном из боковых оснований трапеции.

3. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, а у нас уже есть угол 90 градусов и угол 120 градусов, то угол между радиусом окружности и одним из боковых оснований трапеции равен 180 - 90 - 120 = -30 градусов. Этот угол отрицательный, поэтому будем считать его по модулю.

4. Рассмотрим треугольник со стороной радиуса окружности, противолежащей углу в -30 градусов, и двумя сторонами, которые равны половине основания трапеции. Этот треугольник равнобедренный.

5. Найдем угол между сторонами треугольника (равный половине угла в -30 градусов):

   30 градусов / 2 = 15 градусов.

6. Теперь у нас есть равнобедренный треугольник с углом 15 градусов и гипотенузой 3 см. Мы можем найти длину одной из сторон (половины основания трапеции) с помощью тригонометрии:

   Сторона треугольника = Гипотенуза * sin(угол) = 3 см * sin(15°).

7. Теперь у нас есть длина одной из сторон трапеции. Так как трапеция имеет две одинаковые параллельные стороны (основания) и две боковые стороны, мы можем найти площадь трапеции, используя следующую формулу:

   Площадь = (сумма оснований * высота) / 2.

   Где сумма оснований равна дважды длине одной из сторон, а высота - расстояние между основаниями. В данном случае, высота равна длине противолежащей боковой стороны треугольника, которую мы уже нашли.

   Площадь = (2 * 3 см * sin(15°) * 3 см) / 2.

8. Теперь вычислим значение sin(15°). В радианах это будет:

   sin(15°) = sin(π/12) ≈ 0.2588.

9. Теперь можем найти площадь трапеции:

   Площадь = (2 * 3 см * 0.2588 * 3 см) / 2 ≈ 2.3172 см².

Итак, площадь трапеции составляет примерно 2.3172 квадратных сантиметра.