Question

16. (3 балла). Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 45 градусов, а высота пирамиды равна 2 корня из 2 см. Найдите объем пирамиды.

Answer 1

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, при этом вершина такой пирамиды проецируется в центр ее основания. 

Основание  данной пирамиды  – квадрат, его центр О– точка пересечения диагоналей, которые пересекаются под прямым углом и этой точкой делятся пополам.  

Ребра наклонены под углом 45° (дано).⇒

Из прямоугольного треугольника МОС катет ОС=МО•tg45°=2√2•1=2√2 

∆ BOC - равнобедренный прямоугольный, 

$BC= \frac{OC}{sin 45^{o} } = \frac{2 \sqrt{2} }{ \frac{ \sqrt{2} }{2} } =4$ см

V=S•h:3=AB•BC•MO:3=4²•2√2:3=32√2:3 см³

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу шаг за шагом.

По условию, у нас есть правильная четырехугольная пирамида, у которой боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45 градусов, а высота пирамиды (от вершины до центра основания) равна 2 корня из 2 см.

Поскольку пирамида правильная, её основание - квадрат. Боковое ребро пирамиды образует прямой угол с основанием, и так как оно наклонено к плоскости основания под углом 45 градусов, это означает, что в плоскости основания мы получим прямоугольный треугольник, у которого один из углов равен 45 градусам.

Давайте обозначим сторону квадрата (сторону основания пирамиды) через "a". Тогда, так как у нас прямоугольный треугольник с углом 45 градусов, мы можем использовать соотношение сторон прямоугольного треугольника:

$a = c \cdot \sqrt{2},$

где "c" - гипотенуза треугольника (боковое ребро пирамиды).

Теперь нам дана высота пирамиды $h = 2\sqrt{2}$ см. Объем пирамиды можно выразить через формулу:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h,$

где $S_{\text{осн}}$ - площадь основания пирамиды.

Площадь квадрата (основания) равна $S_{\text{осн}} = a^2$.

Заменяя значение $a$ через $c$ из соотношения выше, получим:

$S_{\text{осн}} = (c \cdot \sqrt{2})^2 = 2c^2.$

Теперь можем подставить это значение обратно в формулу для объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot 2c^2 \cdot 2\sqrt{2}.$

$V = \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot c^2.$

Осталось выразить "c" через известное значение высоты пирамиды $h = 2\sqrt{2}$:

$c = \frac{h}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2.$

Подставляем это значение обратно в формулу для объема:

$V = \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot 2^2 = \frac{32\sqrt{2}}{3} \, \text{см}^3.$

Итак, объем пирамиды равен $\frac{32\sqrt{2}}{3} \, \text{см}^3$.