Question

Найти общее решение дифференциального уравнения y''-8y'+16y=x²

Answer 1

Рассмотрите предложенное решение.
Пояснения: Y- общее решение для воспомогательного однородного ДУ;  у - частное решение неоднородного ДУ.

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами можно решить методом характеристического уравнения. Сначала найдем характеристическое уравнение:

Характеристическое уравнение: r² - 8r + 16 = 0

Для нахождения корней данного квадратного уравнения используем дискриминант: D = b² - 4ac = (-8)² - 4 * 1 * 16 = 64 - 64 = 0

Так как дискриминант равен нулю, у уравнения есть один корень вида r = -b / 2a. Подставим значения коэффициентов: r = -(-8) / (2 * 1) = 8 / 2 = 4

Таким образом, у характеристического уравнения есть один корень r = 4. Поскольку корень кратный, общее решение будет иметь вид: y(t) = (c₁ + c₂t) * e^(4t)

где c₁ и c₂ - произвольные постоянные.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения, связанного с членом x². Так как x² является многочленом второй степени, предположим частное решение в виде полинома второй степени: y_p(t) = At² + Bt + C

Подставляем это частное решение в исходное уравнение и находим значения коэффициентов A, B и C.

y_p''(t) = 2A y_p'(t) = 2At + B

Подставляем в уравнение: 2A - 8(2At + B) + 16(At² + Bt + C) = t²

Упрощаем: (16A - 16B + 16C) t² + (-16B + 2A)t + 2A - 8B = t²

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получаем систему уравнений: 16A - 16B + 16C = 1 -16B + 2A = 0 2A - 8B = 0

Решая эту систему, найдем: A = B = 0 C = 1/16

Таким образом, частное решение: y_p(t) = 1/16 * t²

Общее решение неоднородного уравнения: y(t) = (c₁ + c₂t) * e^(4t) + 1/16 * t²