Question

Трое ребят задумали по двузначному числу. Затем каждые два сыграли в такую игру они сравнили первые цифры своих чисел, и тот у кого цифра больше давая другому столько щелчков, на сколько больше его цифра , затем проделали тоже со вторыми цифрами. Могло ли так случиться, что всего они сделали 19 щелчков?

Answer 1

Рассмотрим ситуацию между двумя мальчиками. Пусть один задумал двузначное число, которое состоит из цифр A и B, а у другого число состоит из цифр C и D. Найдём разницу (A-C) и (B-D), которая определяет сколько щелчков один даст другому. Кто кому сколько - это неважно. Важно, что надо просуммировать все щелчки:
(A-C) + (B-D) = (A+B) - (C+D)
Оказывается, сумма щелчков равна разнице между суммой цифр чисел, задуманных двумя мальчиками. Поэтому, рассматривая только суммы цифр чисел, задачу можно упростить, фактически перейдя к рассмотрению только неких задуманных чисел.

Начнём рассматривать ситуацию с тремя мальчиками. Возможны 4 варианта:

1) Все три мальчика (М1, М2 и М3) задумали Нечётное число (Н);
Найдём разницу (М1-М2) = Чётное (Ч), (М2-М3) = Чётное (Ч) и (М3-М1) = Чётное (Ч). Т.е. все три разницы будут чётными числами, сумма которых число тоже чётное.

2) Все три мальчика задумали Чётное число (Ч);
Находим разницу (М1-М2) = Ч, (М2-М3) = Ч и (М3-М1) = Ч. Все три разницы являются чётными числами, значит их сумма тоже число чётное. Кстати, порядок вычитания неважен, считайте, что все разницы берутся по модулю.

3) Два мальчика задумали Чётное число (Ч), один - Нечётное (Н);
Для определённости считаем, что Чёт у первых двух, т.к нет никакого различия, откуда начнём считать
(М1-М2) = Ч - Ч = Ч; (М2-М3) = Ч - Н = Н; (М3-М1) = Н - Ч = Н
Суммируем, Ч + Н + Н = Ч
Опять, число чётное.

4) Два мальчика задумали Нечётное число (Н), один - Чётное (Ч);
Рассуждаем аналогично, опять пусть у первых двух мальчиков Нечет.
(М1-М2) = Н - Н = Ч; (М2-М3) = Н - Ч = Н; (М3-М1) = Ч - Н = Н
Суммируем, Ч + Н + Н = Ч
Вновь сумма чётная.

Т.к. при любых задуманных числа, в итоге получается число Чётное, то никак не получится так, чтобы мальчике в сумме дали друг другу 19 щелчков.

Ответ: Нет, не могло так случиться

Answer 2

Да, такое возможно. Давайте разберемся:

Пусть первая цифра первого числа равна а, а вторая цифра равна b. Пусть первая цифра второго числа равна c, а вторая цифра равна d. Пусть первая цифра третьего числа равна e, а вторая цифра равна f.

Согласно условиям задачи, каждый из ребят сделал столько щелчков, на сколько его цифра больше, чем у второго игрока. Таким образом, первый ребенок сделал a-c щелчков для первых цифр и b-d щелчков для вторых цифр. Аналогично, второй ребенок сделал c-e щелчков для первых цифр и d-f щелчков для вторых цифр, а третий ребенок сделал e-a щелчков для первых цифр и f-b щелчков для вторых цифр.

Общее количество щелчков можно найти, сложив все полученные значения:

(a - c) + (b - d) + (c - e) + (d - f) + (e - a) + (f - b)

Заметим, что все члены вида (число - то же число) обратятся в ноль, так как разница между одинаковыми числами равна нулю. Останутся только члены с разными цифрами:

a + b + c + d + e + f - (c + d + e + a + f + b) = 0

Таким образом, общее количество щелчков равно нулю. В задаче не указано, что ребята делают хотя бы один щелчок для каждой цифры. Если они не обязаны делать хотя бы один щелчок, то возможен вариант, когда они вообще не делают ни одного щелчка, и общее количество щелчков будет равно нулю.