Question

постройте график функции y=(x-5)(x^2-6x+8)/x-2 и определите при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку

Answer 1

Предлагаю свое решение.
Смотрите фото

Answer 2

Для начала, давайте построим график функции $y=\frac{(x-5)(x^2-6x+8)}{x-2}$. Для этого сначала разложим выражение в числительном на множители:

$y = \frac{(x-5)(x^2-6x+8)}{x-2}$

$y = \frac{(x-5)(x^2-2x-4x+8)}{x-2}$

$y = \frac{(x-5)(x(x-2)-4(x-2))}{x-2}$

$y = \frac{(x-5)(x-2)(x-4)}{x-2}$

Теперь у нас есть $y$ как произведение трех множителей: $x-5$, $x-2$ и $x-4$.

График будет иметь вертикальную асимптоту при $x = 2$, так как знаменатель обращается в ноль при $x = 2$. Мы также видим, что график пересекает ось $x$ в точках $x=4$ и $x=5$.

Теперь давайте рассмотрим уравнение прямой $y = m$ и найдем, при каких значениях $m$ эта прямая будет иметь ровно одну общую точку с графиком функции.

Чтобы найти общую точку, мы должны приравнять уравнение прямой $y=m$ к уравнению функции $y=\frac{(x-5)(x-2)(x-4)}{x-2}$:

$m = \frac{(x-5)(x-2)(x-4)}{x-2}$

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно $x$. Но прежде чем делать это, заметим, что $x=2$ является вертикальной асимптотой, поэтому наше уравнение теряет смысл, если $x=2$. Поэтому мы можем исключить $x=2$ из уравнения:

$m = (x-5)(x-4)$

Теперь, чтобы уравнение имело ровно одно решение, график функции должен касаться прямой $y=m$ в какой-то точке. Это означает, что уравнение $y=m$ должно быть касательной к графику функции.

Чтобы найти это значение $m$, у которого прямая $y=m$ будет касательной, нужно найти производную функции и приравнять ее к нулю:

$y = (x-5)(x-4)$

$y' = 2x-9$

Теперь приравняем $y'$ к нулю и найдем $x$:

$2x-9 = 0$

$x = \frac{9}{2} = 4.5$

Теперь, чтобы найти значение $m$, подставим $x=4.5$ в уравнение $m = (x-5)(x-4)$:

$m = (4.5-5)(4.5-4) = (-0.5)(0.5) = -0.25$

Таким образом, прямая $y = -0.25$ будет иметь ровно одну общую точку с графиком функции $y=\frac{(x-5)(x-2)(x-4)}{x-2}$.