Question

Помогите пожалуйста! Полное исследование функции , плюс график Функция y=x^2/x-1

Answer 1

ДАНО
Y(x) = x²/(x-1)
ИССЛЕДОВАНИЕ
1. Область определения.
x-1 ≠ 0, Х≠ 1 - разрыв функции при Х=1.
Х∈(-∞;1)∪(1;+∞)
2. Вертикальная асимптота:  Х= 1.
3. Пересечение с осью Х.
x² = 0.  x = 0
4. Пересечение с осью У.
Y(0) = 0.
5 Наклонная асимптота.
Уравнение асимптоты:
k = Y(x)/x 
Y = x +1.
6. Проверка на чётность.
Y(-x) ≠ Y(x). Y(-x) ≠ - Y(x) Функция ни четная ни нечетная - общего вида..
7. Поведение в точке разрыва.
lim(->1-) Y(x) = -∞.lim(->1+) Y(x) = +∞.
8, Первая производная.
$Y'(x)= \frac{2x}{x-1}- \frac{x^2}{(x-1)^2}=0$
Корни: х1 = 0 и х2 = 2
9. Локальные  экстремумы.
Максимум -Ymax(0)=0. Минимум - Ymin(2) = 4.
10. Участки монотонности функции.
Возрастает- Х∈(-∞;0]∪[(2;+∞).
Убывает - Х∈[0;1)∪(1;2]
11. Вторая производная.
$Y"(x)= \frac{1}{x-1}*( \frac{2x^2}{(x-1)^2}- \frac{4x}{x-1}+2)=0$
Корней нет. Точек перегиба (на графике) - нет.
Перегиб в точке разрыва - х=1
12. Вогнутая - "горка" - Х∈(1;+∞), выпуклая - "ложка" - Х∈(-∞;1).
13. График в приложении

Answer 2

Хорошо, давайте проанализируем функцию y = x^2 / (x - 1).

Первым шагом будет найти область определения функции, т.е. значения x, для которых функция определена. Функция не определена, если знаменатель равен нулю, т.е. (x - 1) = 0. Таким образом, x ≠ 1.

Область определения: x ∈ (-∞, 1) ∪ (1, +∞).

Затем найдем точки пересечения функции с осями координат (особые точки):

1. Пересечение с осью OX (y = 0): Поставим y = 0 и решим уравнение x^2 / (x - 1) = 0: x^2 = 0 => x = 0. Точка пересечения с осью OX: (0, 0).

2. Пересечение с осью OY (x = 0): Когда x = 0, функция становится невозможной, так как будет деление на ноль.

3. Асимптоты: Найдем вертикальную асимптоту, т.е. значения x, при которых функция стремится к бесконечности. Когда x приближается к 1 слева (x → 1-), значение функции стремится к минус бесконечности: lim(x → 1-) (x^2 / (x - 1)) = -∞

   Когда x приближается к 1 справа (x → 1+), значение функции стремится к плюс бесконечности: lim(x → 1+) (x^2 / (x - 1)) = +∞

   Таким образом, у нас есть вертикальная асимптота x = 1.

Теперь проанализируем поведение функции в окрестности вертикальной асимптоты и на бесконечностях:

1. Поведение функции при x → +∞: lim(x → +∞) (x^2 / (x - 1)) = lim(x → +∞) (x^2 / x) = lim(x → +∞) x = +∞

2. Поведение функции при x → -∞: lim(x → -∞) (x^2 / (x - 1)) = lim(x → -∞) (x^2 / x) = lim(x → -∞) x = -∞

Теперь нарисуем график функции:

perlCopy code
   ^
   |
   |     /
   |    /
   |   /
   |  /
   | /
   |/          ---- Асимптота x = 1
---+-----------------------
   |

На графике видно, что у функции есть вертикальная асимптота x = 1. Она стремится к бесконечности при приближении к этой точке справа (сверху) и к минус бесконечности при приближении слева (снизу).

Также у функции есть точка пересечения с осью OX в точке (0, 0).

Область определения функции: x ∈ (-∞, 1) ∪ (1, +∞).