Question

Помогите пожалуйста ,СРОЧНО найти частные производные функции z=arcctg 2x÷3y + ㏑(9y²+4x²)

Answer 1

Решение на фотографии:

Answer 2

Для нахождения частных производных функции $z$ по $x$ и $y$ сначала выразим каждый элемент функции отдельно:

$z = \text{arcctg}\left(\frac{2x}{3y}\right) + \ln(9y^2 + 4x^2)$

Теперь найдем частные производные:

1. Частная производная $z$ по $x$, обозначим ее как $\frac{{\partial z}}{{\partial x}}$:

Для первого слагаемого: $\frac{{\partial}}{{\partial x}}\left(\text{arcctg}\left(\frac{2x}{3y}\right)\right) = -\frac{1}{{1 + \left(\frac{2x}{3y}\right)^2}} \cdot \frac{{\partial}}{{\partial x}}\left(\frac{2x}{3y}\right) = -\frac{1}{{1 + \left(\frac{2x}{3y}\right)^2}} \cdot \frac{2}{3y} = -\frac{2}{3y + 4x^2/9}$

Для второго слагаемого: $\frac{{\partial}}{{\partial x}}\left(\ln(9y^2 + 4x^2)\right) = \frac{1}{{9y^2 + 4x^2}} \cdot \frac{{\partial}}{{\partial x}}(9y^2 + 4x^2) = \frac{1}{{9y^2 + 4x^2}} \cdot 8x = \frac{8x}{{9y^2 + 4x^2}}$

Теперь соберем все вместе: $\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = -\frac{2}{3y + 4x^2/9} + \frac{8x}{{9y^2 + 4x^2}}$

2. Частная производная $z$ по $y$, обозначим ее как $\frac{{\partial z}}{{\partial y}}$:

Для первого слагаемого: $\frac{{\partial}}{{\partial y}}\left(\text{arcctg}\left(\frac{2x}{3y}\right)\right) = -\frac{1}{{1 + \left(\frac{2x}{3y}\right)^2}} \cdot \frac{{\partial}}{{\partial y}}\left(\frac{2x}{3y}\right) = \frac{1}{{1 + \left(\frac{2x}{3y}\right)^2}} \cdot \frac{2x}{3y^2} = \frac{2x}{3y^2 + 4x^2/9}$