Question

2^2x-2^x-12=0. Решить через дискриминант,пожалуйста!

Answer 1

2^x=t
t^2-t-12=0
t1+t2=-(-1)=1
t1*t2=-12
t1=4
t2=-3

2^x=4 => x=2
2^x=-3 => x∈∅ , так как положительное число в любой степени всегда будет положительным.

Answer 2

Для решения уравнения 2^(2x) - 2^x - 12 = 0 через дискриминант, введем временную переменную: пусть t = 2^x. Тогда уравнение примет вид:

t^2 - t - 12 = 0.

Теперь найдем дискриминант этого уравнения. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения ax^2 + bx + c = 0.

В нашем случае a = 1, b = -1 и c = -12, поэтому:

D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49.

Теперь рассмотрим три случая, исходя из значения дискриминанта:

1. Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня. В этом случае решаем квадратное уравнение t^2 - t - 12 = 0 через формулу:

t1 = (-b + √D) / 2a, t2 = (-b - √D) / 2a.

2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень (два одинаковых корня). В этом случае решаем квадратное уравнение t^2 - t - 12 = 0 через формулу:

t1 = t2 = -b / 2a.

3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Теперь подставим найденные значения t в исходное уравнение t = 2^x и найдем значения x для каждого случая.

1. Если D > 0:

t1 = (1 + √49) / 2 = (1 + 7) / 2 = 8 / 2 = 4, t2 = (1 - √49) / 2 = (1 - 7) / 2 = -6 / 2 = -3.

Тогда получаем два уравнения:

1. 2^x = 4,
2. 2^x = -3.

Для первого уравнения решаем логарифмически:

x = log2(4) = 2.

Для второго уравнения замечаем, что нет возможности возвести 2 в степень и получить отрицательное число, так как степень всегда дает положительный результат. Таким образом, уравнение 2^x = -3 не имеет действительных корней.

2. Если D = 0:

t1 = t2 = 1 / 2.

Тогда получаем уравнение:

2^x = 1 / 2.

Решаем логарифмически:

x = log2(1 / 2) = log2(1) - log2(2) = 0 - 1 = -1.

3. Если D < 0, уравнение не имеет действительных корней.

Итак, решением исходного уравнения 2^(2x) - 2^x - 12 = 0 является x = 2 и x = -1.