Question

найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 4х -| 3x- | x+a ||=9 | x-3 | имеет два корня

Answer 1

Рассмотрим функцию f(x)=9|x-3|-4x+|3x-|x+a||; наше уравнение принимает вид  f(x)=0. Заметим, что при любом раскрытии модулей знак перед x будет определяться первым слагаемым. Это происходит по той причине, что в нем коэффициент при x равен  плюс минус 9, а остальные набирают по модулю максимум 8. Поэтому наша функция убывает слева от 3 и возрастает справа от 3, при этом на бесконечности она стремится к бесконечности. Иными словами, график нашей функции - "немного" исковерканная галка -  график модуля. Найдем

f(3)=9|3-3|-4·3+|3·3-|3+a||=  -12+|9-|3+a||.

Для того, чтобы уравнение имело два корня, необходимо и достаточно, чтобы f(3)<0; -12+|9-|3+a||<0; |9-|3+a||<12; чтобы было легче в дальнейшем, воспользуемся тем, что |b|=|-b|, поэтому можно переписать неравенство в виде ||3+a|-9|<12; -12<|3+a|-9<12; -3<|3+a|<21; левое неравенство выполнено автоматически, поскольку модуль не может быть меньше нуля, остается |3+a|<21; -21<3+a<21; -24<a<18.

Ответ: a∈(-24;18)

Answer 2

Для того чтобы уравнение имело два корня, необходимо, чтобы выражение под знаком модуля было ненулевым. Таким образом, у нас есть два случая:

1. 3x - |x + a| ≠ 0
2. x - 3 ≠ 0

Рассмотрим каждый случай отдельно:

1. 3x - |x + a| ≠ 0

Для этого случая возможны два варианта:

a) 3x - (x + a) ≠ 0 b) 3x - (-(x + a)) ≠ 0

Для случая а):

3x - (x + a) ≠ 0 2x ≠ a

Для случая б):

3x + x + a ≠ 0 4x ≠ -a

2. x - 3 ≠ 0

Отсюда получаем:

x ≠ 3

Теперь объединим все условия, чтобы найти значения a:

1. 2x ≠ a
2. 4x ≠ -a
3. x ≠ 3

Для каждого из этих условий уравнение будет иметь два корня.

Например, если a = 1, то:

1. 2x ≠ 1 => x ≠ 1/2
2. 4x ≠ -1 => x ≠ -1/4
3. x ≠ 3

Если a = -2, то:

1. 2x ≠ -2 => x ≠ -1
2. 4x ≠ 2 => x ≠ 1/2
3. x ≠ 3

И так далее. Таким образом, решениями уравнения будут все значения а, за исключением двух найденных выше (a = 1 и a = -2). Во всех остальных случаях уравнение будет иметь два корня.