Question

картинка имеет форму прямоугольника со сторонами 27 и 43 см . ее наклеили на белую бумагу так , что вокруг картинки получилась белая окантовка одинаковой ширины . площадь которую занимает картинка с окантовкой , равна 1785см² , какова ширина окантовки ?

Answer 1

A = 27 см - длина картины
b = 43 см - ширина картины
Площадь картины с окантовкой: S = 1785 см²

Тогда:
              (a + 2x)(b + 2x) = 1785,    где х - ширина окантовки
              (27 + 2x)(43 + 2x) = 1785
              4x² + 140x - 624 = 0
              x² + 35x - 156 = 0            D = b²-4ac = 1225+624 = 1849 = 43²
 
              x₁ = (-b -√D)/2a = (-35-43)/2 = -36  - не удовлетворяет условию
              x₂ = (-b+√D)/2a = (-35+43)/2 = 4 (см)

Ответ: ширина окантовки 4 см.

Answer 2

Пусть ширина окантовки будет $x$ см.

Тогда общие размеры белой бумаги будут:

Длина: $27 + 2x$ см Ширина: $43 + 2x$ см

Площадь бумаги с окантовкой равна площади картинки с окантовкой:

$(27 + 2x) \cdot (43 + 2x) = 1785$ см²

Раскроем скобки:

$27 \cdot 43 + 54x + 86x + 4x^2 = 1785$

Упростим уравнение:

$1161 + 140x + 4x^2 = 1785$

Переносим все члены уравнения влево:

$4x^2 + 140x + 1161 - 1785 = 0$

Решим получившееся квадратное уравнение:

$4x^2 + 140x - 624 = 0$

Разделим обе стороны на 4:

$x^2 + 35x - 156 = 0$

Для решения квадратного уравнения можно воспользоваться факторизацией:

$(x + 39)(x - 4) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$x + 39 = 0 \Rightarrow x = -39$ (не подходит, так как ширина не может быть отрицательной) $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$

Таким образом, ширина окантовки составляет 4 см.