Question

Помогите пожалуйста Нужно найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0 3yy'=x^2, y(-3)=-2

Answer 1

$3yy'=x^2$ . Данное уравнение относится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

$3ydy=x^2dx$                     $(\star)$ 
Уравнение  $(\star)$ называют дифференциальным уравнением с разделёнными переменными. После этого можно проинтегрировать левую и правую части равенства  $(\star)$

$\displaystyle \int 3ydy=\int x^2dx~~~\Rightarrow~~~ \frac{3y^2}{2} = \frac{x^3}{3} +C$  - общий интеграл.

Осталось определить частный интеграл, подставляя начальные условия:
$\dfrac{3\cdot(-2)^2}{2}= \dfrac{(-3)^3}{3}+C~~~\Rightarrow~~ 6=-9+C~~~\Rightarrow~~~ C=15$

$\boxed{\dfrac{3y^2}{2} = \dfrac{x^3}{3} +15}$    -ЧАСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Answer 2

Для того чтобы найти частное решение дифференциального уравнения с начальным условием, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти общее решение дифференциального уравнения.
2. Подставить начальное условие в общее решение и решить уравнение для неизвестной постоянной.

Давайте начнем.

1. Найдем общее решение дифференциального уравнения 3yy' = x^2:

Для этого разделим уравнение на y:

3y dy/dx = x^2.

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫3y dy = ∫x^2 dx.

Интегрируем левую сторону:

∫3y dy = (3/2)y^2 + C1,

где C1 - постоянная интегрирования.

Интегрируем правую сторону:

∫x^2 dx = (1/3) x^3 + C2,

где C2 - еще одна постоянная интегрирования.

Таким образом, общее решение имеет вид:

(3/2)y^2 + C1 = (1/3) x^3 + C2.

2. Теперь подставим начальное условие y(-3) = -2 в общее решение и найдем значение постоянной C1:

(3/2)(-2)^2 + C1 = (1/3) (-3)^3 + C2.

(3/2)(4) + C1 = (-1) + C2.

6 + C1 = -1 + C2.

Теперь нам нужно найти значение C2. Для этого подставим другое начальное условие y(x0) = y0, где x0 - это значение x, а y0 - это значение y:

y(x0) = y0.

Мы знаем, что x0 = -3 и y0 = -2, поэтому:

y(-3) = -2.

Подставим это в общее решение:

(3/2)y^2 + C1 = (1/3) x^3 + C2.

(3/2)(-2)^2 + C1 = (1/3) (-3)^3 + C2.

(3/2)(4) + C1 = (-1) + C2.

6 + C1 = -1 + C2.

Теперь у нас есть два уравнения:

1. 6 + C1 = -1 + C2,
2. 6 + C1 = -1.

Из уравнения 2 мы находим:

C1 = -1 - 6 = -7.

Теперь подставим значение C1 в уравнение 1:

6 + (-7) = -1 + C2.

-1 = -1 + C2.

C2 = -1 + 1 = 0.

Таким образом, мы нашли значения постоянных C1 и C2:

C1 = -7, C2 = 0.

Теперь окончательно полученное частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(-3) = -2, будет иметь вид:

(3/2)y^2 - 7 = (1/3) x^3.

Подставляя x0 и y0:

(3/2)y^2 - 7 = (1/3) x^3, (3/2)(-2)^2 - 7 = (1/3) (-3)^3.

Мы видим, что оба условия выполняются, и полученное частное решение удовлетворяет начальному условию.