Question

Построить график функции y=x/1-x^2

Answer 1

Общая схема для построения графиков функций.

1. Найти область определения функции D(y).

Заданную функцию представим в виде:

$y= \frac{x}{1-x^2} =- \frac{x}{(x-1)(x+1)} .$

Отсюда видим 2 точки разрыва функции: х = 1 и х = -1.

Тогда D(y) = R, x ≠ 1, x ≠ -1. 

2. Найти точки пересечения графика функций с осями координат.

Есть только одна точка пересечения графика с осями х и у - это точка х = 0, у = 0.

3. Исследовать функцию на четность или нечетность.

f(x) ≠ f(-x), следовательно, f(x) является функцией общего вида. 

4. Исследовать функцию на периодичность - не периодична.

5. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции.

Производная функции равна y' = (x² + 1)/((1-x²)²).

Переменная в квадрате - значит, производная только положительна, а функция возрастает на всей области определения.

Производная не может быть равна нулю - поэтому нет ни минимума, ни максимума функции.

6. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции.

Вторая производная равна:

$y''=( \frac{8x^2}{(1-x^2)^3} + \frac{2}{(1-x^2)^2} )x+ \frac{4x}{(1-x^2)^2}$.

Отсюда видно, что  ноль её равен при х = 0.

То есть, точка (0; 0) - это точка перегиба графика функции.

7. Найти асимптоты функции.

Асимптоты - линии разрыва х = 1 и х = -1 и ось Ох.

8. По результатам исследования построить график .
Таблица точек: f(x)=x/(1−x²)xy-5.0 0.21 -4.5 0.23 -4.0 0.27 -3.5 0.31 -3.0 0.38 -2.5 0.48 -2.0 0.67 -1.5 1.2 -1.0 - -0.5 -0.67 0 0 0.5 0.67 1.0 -1.5 -1.2 2.0 -0.67 2.5 -0.48 3.0 -0.37 3.5 -0.31 4.0 -0.27 4.5 -0.23 5.0 -0.21

Answer 2

Для построения графика функции y = x / (1 - x^2) сначала давайте определим область определения функции, а затем построим график.

Область определения функции: Функция y = x / (1 - x^2) будет определена для всех значений x, кроме тех, которые делают знаменатель равным нулю. Таким образом, функция определена для всех x, где 1 - x^2 ≠ 0.

Чтобы найти значения x, при которых 1 - x^2 = 0, решим уравнение: 1 - x^2 = 0 x^2 = 1 x = ±√1 x = ±1

Таким образом, область определения функции - все действительные числа, кроме x = -1 и x = 1.

Теперь давайте построим график. Чтобы визуализировать функцию, давайте выберем несколько значений x из области определения и найдем соответствующие значения y.

x | y = x / (1 - x^2)

-2 | -0.4 -1.5 | -0.5455 -1.2 | -0.75 -1.1 | -1.0 -0.9 | 1.0 -0.8 | 0.7273 -0.5 | 0.3333 -0.2 | 0.1053 0 | 0 0.2 | -0.1053 0.5 | -0.3333 0.8 | -0.7273 0.9 | -1.0 1.1 | 1.0 1.2 | 0.75 1.5 | 0.5455 2 | 0.4

Теперь нарисуем график, используя эти точки:

(Примечание: Поскольку функция имеет вертикальные асимптоты в x = -1 и x = 1, график будет стремиться к бесконечности по оси y в этих точках.)

luaCopy code
      |                
   2  |               * 
      |              *  
   1  |             *   
      |            *    
   0  | *  *  *  *      
      |           *     
  -1  |            *    
      |             *   
  -2  |              *  
      |               * 
      -----------------
       -2  -1   0   1   2

На графике видно, что функция имеет горизонтальную асимптоту в y = 0 и вертикальные асимптоты в x = -1 и x = 1. Также заметим, что функция симметрична относительно начала координат (0, 0).