Question

Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма катетов равна сумме диаметров вписанной и описанной окружностей. СРОЧНО!!!!!

Answer 1

Решение:

Пусть R и r – радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C . Oбозначим BC = a , AC=b и AB=c , а точки касания с этими сторонами – A1 , B1 и C1 соответственно. Поскольку треугольник прямоугольный, его гипотенуза – диаметр описанной окружности, поэтому c=2R . Если O – центр вписанной окружности, то OA1CB1 – квадрат. 

Поэтому CA1 = r, BC1 = BA1 = a - r, AC1 = AB1 = b - r,

2R = c = AB = AC1 + C1B = a + b - 2r.

Следовательно,  2R+2r = a + b,
что и требовалось доказать. 

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, воспользуемся известными формулами, связанными с прямоугольными треугольниками и окружностями.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где AB и BC - катеты, а AC - гипотенуза.

Пусть: r - радиус вписанной окружности треугольника ABC (центр окружности находится в точке пересечения биссектрис); R - радиус описанной окружности треугольника ABC (центр окружности - это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника).

Теперь, давайте выразим диаметры вписанной и описанной окружностей через указанные радиусы: Диаметр вписанной окружности = 2 * r Диаметр описанной окружности = 2 * R

Нам нужно доказать, что сумма катетов (AB + BC) равна сумме диаметров окружностей (2 * r + 2 * R).

Для начала, рассмотрим радиусы вписанной и описанной окружностей и их связь с сторонами прямоугольного треугольника:

1. Связь радиуса вписанной окружности с площадью треугольника: r = (Площадь треугольника) / (Полупериметр треугольника) r = (AB * BC) / (AB + BC + AC) (площадь треугольника ABC равна (1/2) * AB * BC, а полупериметр равен (AB + BC + AC) / 2)

2. Связь радиуса описанной окружности с длинами сторон треугольника: R = AC / 2 (по определению описанной окружности, радиус R равен половине длины гипотенузы AC)

Теперь выразим сумму катетов (AB + BC) через радиусы вписанной и описанной окружностей:

AB + BC = (AB + BC + AC) - AC AB + BC = 2 * (AB + BC + AC) / 2 - AC AB + BC = 2 * (AB * BC) / (AB + BC + AC) - 2 * R (подставляем значения r и R)

Таким образом, мы получили выражение для суммы катетов через радиусы вписанной и описанной окружностей (AB + BC = 2 * r - 2 * R).

Но у нас есть также выражение для суммы диаметров окружностей: 2 * r + 2 * R.

Теперь, чтобы доказать утверждение, нам нужно показать, что 2 * r - 2 * R = 2 * r + 2 * R:

2 * r - 2 * R + 2 * R = 2 * r + 2 * R 2 * r = 2 * r + 2 * R

Это утверждение верно, исходя из определения радиусов вписанной и описанной окружностей. Таким образом, мы доказали, что в прямоугольном треугольнике сумма катетов равна сумме диаметров вписанной и описанной окружностей.

P.S. Важно отметить, что правильность этого доказательства базируется на предположении, что вписанная и описанная окружности действительно существуют для данного треугольника. Это выполнено, только если угол BAC является острым (не прямым и не тупым).