Question

В прямоугольном треугольнике сумма диаметров вписанной и описанной окружностей равна 2. Найти сумму катетов.

Answer 1

Есть два факта зная которые, решение не составит труда:
1) диаметр описанной окружности прямоугольного треугольника равен гипотенузе
2) диаметр вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен разности суммы катетов и гипотенузы
то есть обозначив а,б-катеты,с-гипотенуза, Д-диаметр описанной окружности,д - диаметр вписанной окружности, эти два факта примут вид
1) Д=с
2) д=а+б-с
нам известно,по условию, что Д+д=2
подставив 1) и 2) факт получаем
с+(а+б-с)=2
с+а+б-с=2
а+б=2
Ответ:2

Answer 2

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, и r и R - радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно.

Известно, что сумма диаметров вписанной и описанной окружностей равна 2, то есть 2r + 2R = 2.

Так как в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен половине г