Question

Памагити как выделить полный квадрат из многочлена (7-8 класс)

Answer 1

Пример:Решить уравнение x 2+ 14x + 45 = 0 Решение: Разложим многочлен на множители методом выделения полного квадрата.Для применения первой формулы  необходимо получить выражениеx2+ 14x + 49 = 0.Поэтому прибавим и отнимем от многочлена x2+ 14x + 45 число 4, чтобы выделить полный квадрат x 2+ 14x + 45+4−4 =0  (x 2+ 14x + 45+4)−4=0(x 2+ 14x + 49)−4=0(x+7)2−4=0Применим формулу «разность квадратов» a2−b2=(a−b)⋅(a+b) (x+7)2−22=0( x + 7 – 2 ) ( x + 7 + 2 ) = 0( x + 5 ) ( x + 9 ) = 0x + 5 = 0             x + 9 = 0x1 = – 5                   x2 = – 9Ответ: –9;–5.Пример:Решить уравнение x2 − 6x − 7 = 0Решение:Выделим в левой части полный квадрат.Для применения второй формулы  необходимо получить выражение x2 − 6x +9 = 0Поэтому запишем выражение x2 − 6x в следующем виде: x2−6x =x2−2⋅x⋅3В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа x, а второе - удвоенное произведение x на 3.Чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32Итак, прибавим и отнимем в левой части уравнения 32, чтобы выделить полный квадрат.x2 − 6x − 7 = x2 − 2⋅ x ⋅3 + 32 − 32 − 7 = (x2 − 2⋅ x ⋅3 + 32 ) − 32 − 7 ==(x − 3)2 − 9 − 7 = (x − 3)2 − 16.Подставим в уравнение и применим формулу a2−b2=(a−b)⋅(a+b).(x −3)2−16=0(x −3)2=16x −3=4x −3= −4x=3+4x = 3−4x1=7x2= −1Ответ:–1;7.

Answer 2

Конечно, я помогу! Чтобы выделить полный квадрат из многочлена, нужно применить метод завершения квадрата (или метод квадратного трехчлена). Это метод, который позволяет преобразовать многочлен в квадратный трехчлен путем добавления и вычитания определенных констант.

Допустим, у нас есть многочлен вида:

$ax^2 + bx + c$

Чтобы превратить его в полный квадрат, нужно выполнить следующие шаги:

1. Проверить, что коэффициент $a$ равен 1. Если это не так, можно разделить весь многочлен на $a$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал равным 1.

2. Преобразовать линейную часть (термин с $x$) так, чтобы она соответствовала формуле $(x + p)^2$, где $p$ - некоторое число. Для этого нужно добавить и вычесть определенное число, чтобы получить квадратный трехчлен.

3. Сгруппировать квадратные члены и линейные члены вместе.

4. Упростить полученное выражение, если это возможно.

Давайте рассмотрим пример:

Пусть у нас есть многочлен: $x^2 + 6x + 9$

1. Убеждаемся, что коэффициент $a$ равен 1, что уже верно в данном примере.

2. Теперь преобразуем линейную часть $6x$ так, чтобы она была вида $(x + p)^2$. Чтобы это сделать, добавим и вычтем квадрат половины коэффициента при $x$. В данном случае половина коэффициента при $x$ равна $6/2 = 3$, а её квадрат равен $3^2 = 9$:

$x^2 + 6x + 9 = x^2 + 6x + 9 + 9 - 9$

3. Теперь сгруппируем квадратные члены и линейные члены вместе:

$x^2 + 6x + 9 + 9 - 9 = (x^2 + 6x + 9) + 9 - 9$

4. Упростим выражение:

$(x^2 + 6x + 9) + 9 - 9 = (x + 3)^2$

Теперь многочлен $x^2 + 6x + 9$ выражен в виде полного квадрата $(x + 3)^2$.

Вот и все! Таким образом, мы выделили полный квадрат из данного многочлена. Этот метод может быть использован для любого многочлена вида $ax^2 + bx + c$ (если $a \neq 0$) для превращения его в квадратный трехчлен.