Question

Составьте уравнение касательной к графику функции y = 3x-2/3-x в точке с абcциссой x=2

Answer 1

F(а)=(3·2-2)/(3-2)=4/1=4
f`(x)=((3х-2)`·(3-x)-(3x-2)·(3-x)`)/(3-x)²=(3·(3-x)-(3x-2)·(-1))/(3-x)²=
=(9-3x+3x-2)/(3-x)²=7/(3-x)²
f`(a)=7/(3-2)²=7
y-4=7·(x-2)
y=7x-10

Answer 2

Для составления уравнения касательной к графику функции в точке с абсциссой x = 2 нам нужно найти производную функции и подставить в нее значение x = 2.

Дана функция: y = (3x - 2) / (3 - x)

Для нахождения производной функции y по x используем правило дифференцирования частного и цепное правило:

d/dx [u(x)/v(x)] = (v(x)*du(x)/dx - u(x)*dv(x)/dx) / v(x)^2

где u(x) = 3x - 2 и v(x) = 3 - x.

Теперь найдем производные u'(x) и v'(x):

u'(x) = d/dx [3x - 2] = 3 v'(x) = d/dx [3 - x] = -1

Теперь найдем производную функции y'(x) по x:

y'(x) = (v(x) * u'(x) - u(x) * v'(x)) / v(x)^2 y'(x) = ((3 - x) * 3 - (3x - 2) * (-1)) / (3 - x)^2 y'(x) = (9 - 3x + 3x - 2) / (3 - x)^2 y'(x) = (7) / (3 - x)^2

Теперь подставим значение x = 2, чтобы найти значение производной в этой точке:

y'(2) = 7 / (3 - 2)^2 y'(2) = 7 / 1 y'(2) = 7

Теперь у нас есть значение производной в точке x = 2, что является коэффициентом наклона касательной к графику функции в этой точке.

Уравнение касательной к графику функции в точке x = 2 будет иметь следующий вид:

y - y₁ = m(x - x₁)

где (x₁, y₁) - это координаты точки, в которой мы ищем касательную, т.е. (2, f(2)), а m - значение производной в этой точке, т.е. m = 7.

Теперь подставим значения и составим уравнение:

y - f(2) = 7(x - 2)

Нам осталось выразить f(2) (значение функции в точке x = 2):

f(x) = (3x - 2) / (3 - x) f(2) = (3 * 2 - 2) / (3 - 2) f(2) = (6 - 2) / 1 f(2) = 4

Теперь окончательное уравнение касательной:

y - 4 = 7(x - 2)