Question

При скольких натуральных значениях n значение дроби (3n-9)/(n+1) будет натуральным числом?

Answer 1

(3n + 3 - 12)/(n + 1) = 3 - 12/(n+1)

число натуральное, если 12/(n+1) - целое и меньше 3

12/(n+1) < 3
n+1 > 12/3 = 4

n + 1 > 4 и это делитель 12

делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

подходят только 6 и 12

n = 5 и n = 11

проверим: (15-9)/6 = 1 - натуральное

(33 - 9)/12 = 24/12 = 2 - натуральное

Ответ: 2 значения 

Answer 2

Для того чтобы дробь (3n-9)/(n+1) представляла собой натуральное число, числитель должен быть кратен знаменателю, то есть (3n-9) должно делиться на (n+1) без остатка.

Давайте раскроем скобки в числителе: (3n - 9) = 3(n - 3).

Теперь у нас есть (3n - 9)/(n + 1) = (3(n - 3))/(n + 1).

Для того чтобы (3(n - 3))/(n + 1) было натуральным числом, (n + 1) должно делиться на (n - 3) без остатка.

(n + 1) делится на (n - 3) без остатка, если (n + 1) - (n - 3) делится на (n - 3) без остатка:

(n + 1) - (n - 3) = n + 1 - n + 3 = 4.

Таким образом, (n + 1) делится на (n - 3) без остатка только при n - 3 = 4.

Из этого следует, что n = 4 + 3 = 7.

Таким образом, только при n = 7 значение дроби (3n - 9)/(n + 1) будет натуральным числом.