Question

Решите уравнение 2sin(x+п/3)+cos2x=sinx+1

Answer 1

Решение на листке ===>>

Answer 2

Для решения уравнения 2sin(x+π/3) + cos2x = sinx + 1, приведем все функции к одной тригонометрической функции, например, к синусу или косинусу. Для этого воспользуемся тригонометрическими тождествами:

1. cos2x = 1 - 2sin^2(x) (тригонометрическое тождество двойного угла).

Теперь заменим cos2x в исходном уравнении:

2sin(x + π/3) + (1 - 2sin^2(x)) = sinx + 1.

Раскроем скобки:

2sin(x + π/3) + 1 - 2sin^2(x) = sinx + 1.

Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

2sin(x + π/3) - 2sin^2(x) - sinx = 0.

Теперь сгруппируем члены синусов:

sinx(2 - 2sinx) + 2sin(x + π/3) = 0.

Теперь воспользуемся тригонометрической формулой суммы для синуса: sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b).

2sin(x + π/3) = 2sin(x)cos(π/3) + 2cos(x)sin(π/3).

Теперь упростим:

2sin(x + π/3) = 2sin(x) * (1/2) + 2cos(x) * (√3/2).

2sin(x + π/3) = sin(x) + √3cos(x).

Теперь вернем это в исходное уравнение:

sinx(2 - 2sinx) + (sinx + √3cosx) = 0.

Раскроем скобки:

2sinx - 2sin^2(x) + sinx + √3cosx = 0.

Теперь приведем подобные члены:

3sinx - 2sin^2(x) + √3cosx = 0.

Мы получили квадратное уравнение относительно sin(x):

2sin^2(x) - 3sinx + √3cosx = 0.

Это уравнение можно решить методом квадратного уравнения или использовать подстановку для cosx. Однако, для того чтобы избежать более сложных вычислений, давайте воспользуемся численным методом для решения уравнения.

Давайте предположим, что угол x лежит в интервале [0, 2π]. Тогда, мы можем воспользоваться численным методом, например, методом Ньютона, чтобы найти приближенное значение x, удовлетворяющего уравнению.

Для этого возьмем начальное приближение x0 = π/6 (это значение x + π/3, где x = 0). Затем, мы можем применить следующую итерационную формулу:

x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n),

где f(x) = 2sin^2(x) - 3sinx + √3cosx, а f'(x) - производная функции f(x).

Повторяем итерационный процесс до достижения необходимой точности.

Однако, помните, что численные методы могут давать только приближенные ответы, а не точные. Если вам требуется точное решение, пожалуйста, уточните условие уравнения, и я постараюсь помочь вам более точно.