Question

1.Четырехугольник ABCD вписан в окружность, K-точка пересечения диагоналей AC и BD.Докажите,что AK*CK=BK*DK. 2.Постройте график функции y=x^2-|8x-7| и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

1. Доказательство равенства AK * CK = BK * DK:

Для доказательства данного утверждения воспользуемся тем, что если точка K лежит внутри четырехугольника ABCD, то произведение длин отрезков, образованных точкой K на сторонах четырехугольника, будет одинаково для любой точки, лежащей внутри четырехугольника на тех же самых сторонах.

Обозначим точки пересечения сторон четырехугольника ABCD со сторонами K (пересечение стороны AB с прямой CK) как P, а точку пересечения сторон CD и AB со сторонами K (пересечение стороны CD с прямой AK) как Q.

Таким образом, у нас есть два подобных треугольника AKQ и CKP, так как они имеют общий угол в точке K и соответственные углы AKB и CKD равны, так как они являются вертикальными углами.

Теперь рассмотрим отношение длин сторон треугольников AKQ и CKP:

AK / CK = AQ / CP ...(1)

Также рассмотрим отношение длин сторон треугольников AKB и CKD:

AK / CK = AB / CD ...(2)

Теперь объединим (1) и (2):

AQ / CP = AB / CD

Следовательно, AK * CK = AQ * CP = AB * CD = BK * DK

Таким образом, получаем, что AK * CK = BK * DK, что и требовалось доказать.

2. Построение графика функции и нахождение значений m:

Для построения графика функции y = x^2 - |8x - 7| можно следовать нескольким шагам:

Шаг 1: Разобъем функцию на две части в зависимости от значения выражения |8x - 7|:

1.1. Когда 8x - 7 ≥ 0 (т.е., 8x ≥ 7, x ≥ 7/8): В этом случае |8x - 7| равно самому выражению 8x - 7. Тогда функция примет вид: y = x^2 - (8x - 7) = x^2 - 8x + 7.

1.2. Когда 8x - 7 < 0 (т.е., 8x < 7, x < 7/8): В этом случае |8x - 7| равно противоположному значению выражения, т.е. |8x - 7| = -(8x - 7) = -8x + 7. Тогда функция примет вид: y = x^2 + (-8x + 7) = x^2 - 8x + 7.

Шаг 2: Найдем вертикальную асимптоту, которая возникает при значении 8x - 7 = 0, т.е., когда x = 7/8. Следовательно, вертикальная асимптота будет x = 7/8.

Теперь построим график функции y = x^2 - |8x - 7|:

Для определения значений m, при которых прямая y = m имеет две общие точки с графиком функции, нужно найти значения m, при которых уравнение x^2 - |8x - 7| = m имеет два корня.

1. Рассмотрим первую часть функции (8x - 7 ≥ 0): x^2 - (8x - 7) = m x^2 - 8x + 7 - m = 0

Для того, чтобы иметь два корня, дискриминант этого уравнения должен быть положительным: D1 = (-8)^2 - 4 * 1 * (7 - m) > 0 64 - 4(7 - m) > 0 64 - 28 + 4m > 0 4m > -36 m > -9

2. Рассмотрим вторую часть функции (8x - 7 < 0): x^2 + (-8x + 7) = m x^2 - 8x + 7 - m = 0

Также здесь дискриминант должен быть положительным: D2 = (-8)^2 - 4 * 1 * (7 - m) > 0

Это условие также приводит к тому, что m > -9.

Итак, при значениях m > -9 прямая y = m будет иметь две общие точки с графиком функции y = x^2 - |8x - 7|.