Question

Y=√(3x^-x-14)/(x^2-9) Найти область определения Помогите пожалуйста!

Answer 1

$y=\frac{\sqrt{3x^2-x-14}}{x^2-9}\\\\OOF:\; \; \left \{ {{3x^2-x-14 \geq 0} \atop {x^2-9\ne 0}} \right. \; \left \{ {{3(x+2)(x-\frac{7}{3}) \geq 0} \atop {x^2\ne 9}} \right. \; \left \{ {{x\in (-\infty ,-2\, ]\cup [\, \frac{7}{3},+\infty )} \atop {x\ne \pm 3}} \right. \; \; \to \\\\x\in (-\infty ,-3)\cup (-3,-2\, ]\cup [\frac{7}{3},3)\cup (3,+\infty )\\\\\\\star \; 3x^2-x-14=0\; ,\; \; D=169\; ,\; \; x_1=\frac{1-13}{6}=-2,\; x_2=\frac{1+13}{6}=\frac{7}{3}\\\\+++[-2\, ]---[\, \frac{7}{3}\, ]+++\\\\x\in (-\infty ,-2\, ]\cup [\, \frac{7}{3},+\infty )$

Answer 2

Чтобы найти область определения функции, нужно определить все значения x, при которых функция Y определена и не имеет деления на ноль или извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Исходная функция: Y = √((3x^(-x) - 14) / (x^2 - 9))

Давайте разберемся по шагам:

1. Функция Y определена только тогда, когда в знаменателе (x^2 - 9) нет нуля, так как деление на ноль запрещено. Поэтому необходимо исключить значения x, при которых x^2 - 9 = 0.

2. Функция Y определена только тогда, когда подкоренное выражение (3x^(-x) - 14) неотрицательно или равно нулю, так как нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа или нуля.

Давайте решим оба условия:

1. Условие: x^2 - 9 ≠ 0 x^2 - 9 = 0 имеет корни x = ±3, таким образом, функция не определена при x = 3 и x = -3.

2. Условие: 3x^(-x) - 14 ≥ 0 Заметим, что 3x^(-x) всегда положительно, так как 3 и x^(-x) (возведение в отрицательную степень) положительны. Таким образом, это условие равносильно уравнению: 3x^(-x) - 14 > 0

Теперь обратим внимание на экспоненту x^(-x). Это нелинейная функция, и ее поведение изменяется в зависимости от значения x. Давайте построим график этой функции, чтобы определить интервалы, где она больше нуля:

График x^(-x):

(Здесь я не могу показать непосредственно график, так как это текстовый формат. Но я могу объяснить результаты графика.)

• При x > 0: Функция x^(-x) положительна.
• При x < 0: Функция x^(-x) отрицательна.
• При x = 0: Функция x^(-x) неопределена, так как нельзя возвести 0 в отрицательную степень.

Таким образом, у нас есть два интервала, где условие 3x^(-x) - 14 > 0 выполнено:

a) При x > 0 b) При x < 0, но x ≠ -3 (так как в этой точке функция Y не определена из-за деления на ноль).

Теперь объединим оба условия: функция Y определена, когда выполняются оба условия.

Таким образом, область определения функции Y - это множество всех действительных чисел, за исключением x = 3 и x = -3, то есть: (-∞, -3) ∪ (-3, 0) ∪ (0, 3) ∪ (3, +∞)