Question

Обчисліть площу фігури обмежену лініями у=-х^2 +2 ; у=х^2

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для обчислення площі фігури, обмеженої двома функціями, необхідно знайти точки їх перетину та інтегрувати різницю між цими функціями.

1. Знайдемо точки перетину: Поставимо у -х^2 + 2 рівним у = х^2 і розв'яжемо рівняння: -х^2 + 2 = х^2

2х^2 = 2

x^2 = 1

x = ±√1 x = ±1

Таким чином, точки перетину функцій знаходяться в точках (1, 1) та (-1, 1).

2. Щоб знайти площу між цими функціями, необхідно зрозуміти, яка функція перебуває вище від іншої на відрізку між x = -1 та x = 1.

Переглядаючи функції, бачимо, що у = х^2 перебуває вище у = -х^2 + 2 на цьому відрізку.

3. Обчислимо площу фігури між цими функціями:

Площа = ∫(від x = -1 до x = 1) (у = х^2 - (у = -х^2 + 2)) dx

Площа = ∫(від x = -1 до x = 1) (2х^2 - 2) dx

Площа = [ (2/3)х^3 - 2х ] (від x = -1 до x = 1)

Площа = [ (2/3) * 1^3 - 2 * 1 ] - [ (2/3) * (-1)^3 - 2 * (-1) ]

Площа = [ (2/3) - 2 ] - [ (-2/3) + 2 ]

Площа = (2/3 - 2) - (-2/3 + 2)

Площа = (2/3 - 2) + (2/3 - 2)

Площа = (4/3 - 4)

Площа = -8/3

Отже, площа фігури, обмеженої лініями у = -х^2 + 2 та у = х^2 на відрізку між x = -1 та x = 1, дорівнює -8/3 квадратних одиниць.