Question

А) решите уравнение 2cos^2(3pi/2+x)+√3sinx=0 б) найдите все корни этого уравнения придлежащему отрезку 5pi/2; 4pi

Answer 1

Решение задачи в виде фотографии:

Answer 2

Для решения уравнения $2\cos^2\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)+\sqrt{3}\sin{x}=0$, мы сначала преобразуем его и затем найдем значения $x$, удовлетворяющие уравнению.

а) Решение уравнения $2\cos^2\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)+\sqrt{3}\sin{x}=0$:

Нам известны следующие тригонометрические идентичности:

1. $\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin{x}$
2. $\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos{x}$

Теперь преобразуем уравнение, используя данные идентичности:

$2\cos^2\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)+\sqrt{3}\sin{x}=0$

Заменим $\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)$ и $\sin{x}$ согласно идентичностям:

$2(-\sin{x})^2+\sqrt{3}\cos{x}=0$

Теперь упростим уравнение:

$2\sin^2{x}+\sqrt{3}\cos{x}=0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой сокращенного умножения $\sin^2{x} = 1-\cos^2{x}$:

$2(1-\cos^2{x})+\sqrt{3}\cos{x}=0$

Раскроем скобки:

$2-2\cos^2{x}+\sqrt{3}\cos{x}=0$

Теперь приведем квадратичное уравнение по $\cos{x}$:

$2\cos^2{x}-\sqrt{3}\cos{x}-2=0$

Решим квадратное уравнение. Пусть $t=\cos{x}$:

$2t^2-\sqrt{3}t-2=0$

Мы можем решить это уравнение с помощью дискриминанта или разложения на множители. Воспользуемся дискриминантом:

Дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a = 2$, $b = -\sqrt{3}$, $c = -2$:

$D = (-\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 3 + 16 = 19$

Так как дискриминант положителен ($D > 0$), у нас есть два различных вещественных корня:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$t_1 = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{19}}{4}$