Question

Исследовать функцию и построить ее график y=2x^2/3x-2, помогите, пожалуйста

Answer 1

Полное исследование с графиками на фото

Answer 2

Для исследования функции и построения её графика, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции (где она определена).
2. Найти точки пересечения функции с осями координат.
3. Найти асимптоты функции (горизонтальные и вертикальные, если они есть).
4. Найти значения функции в критических точках (максимумах и минимумах).
5. Проанализировать поведение функции при стремлении аргумента к бесконечности и минус бесконечности.
6. Нарисовать график функции.

Давайте выполним эти шаги по порядку.

1. Область определения функции: Функция будет определена всюду, кроме точки, где знаменатель равен нулю, так как деление на ноль не определено: 3x - 2 ≠ 0 x ≠ 2/3

Таким образом, область определения функции: D = (-∞, 2/3) U (2/3, +∞).

2. Точки пересечения с осями координат: Для найти точки пересечения с осями координат, подставим y=0, чтобы найти x-координаты: 2x^2 / (3x - 2) = 0 Так как числитель всегда положителен, чтобы получить 0 в результате, необходимо, чтобы знаменатель был бесконечно большим (при положительных x) или бесконечно малым (при отрицательных x). Однако, у нас нет таких значений x, которые удовлетворяли бы этому условию. Следовательно, у этой функции нет точек пересечения с осями координат.

3. Асимптоты функции: Горизонтальные асимптоты: При стремлении x к бесконечности, коэффициенты при старших степенях x в числителе и знаменателе становятся доминирующими. Поскольку у нас есть x^2 в числителе и x в знаменателе, горизонтальная асимптота отсутствует.

Вертикальные асимптоты: Вертикальная асимптота возникает, когда значение функции стремится к бесконечности или минус бесконечности в определенных точках. В этой функции у нас возникает вертикальная асимптота в точке x = 2/3, так как знаменатель обращается в ноль при этом значении x.

4. Критические точки: Чтобы найти критические точки, найдем производную функции и приравняем её к нулю: y = 2x^2 / (3x - 2) y' = (4x(3x - 2) - 2x^2 * 3) / (3x - 2)^2 y' = (12x^2 - 8x - 6x^2) / (3x - 2)^2 y' = (6x^2 - 8x) / (3x - 2)^2 y' = 2x(3x - 4) / (3x - 2)^2

Теперь найдем точки, где производная равна нулю: 2x(3x - 4) = 0 x = 0 или 3x - 4 = 0 x = 0 или 3x = 4 x = 0 или x = 4/3

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 0 и x = 4/3.

5. Поведение функции при стремлении аргумента к бесконечности и минус бесконечности: При стремлении x к бесконечности, коэффициенты при старших степенях x в числителе и знаменателе становятся доминирующими. В данной функции наибольший вклад ведет коэффициент 2x^2 в числителе и 3x в знаменателе. Поэтому при x → ±∞, функция будет приближаться к значению 2x^2 / (3x) = 2x/3.

6. Построение графика функции: Теперь нарисуем график функции y = 2x^2 / (3x - 2). Для этого учтем область определения, асимптоты и критические точки.

График функции будет выглядеть следующим образом: (Примечание: Так как я являюсь текстовым ИИ, у меня нет возможности нарисовать график прямо здесь. Рекомендую использовать графический инструмент, такой как GeoGebra или Desmos, чтобы построить график функции.)