Question

Найти значение выражения: 3sina+6cosa/3sina+cosa, если ctg a/2 = 2

Answer 1

$\displaystyle \frac{3\sin \alpha+6\cos \alpha}{3\sin \alpha+\cos \alpha}=\frac{3(\sin \alpha+2\cos \alpha)}{3\sin \alpha+\cos \alpha}=\\ =\frac{3(2\sin \frac{ \alpha}{2}\cos\frac{ \alpha}{2}+2\cos^2\frac{ \alpha}{2}-2\sin^2\frac{ \alpha}{2})}{3\sin\frac{ \alpha}{2}\cos\frac{ \alpha}{2}+\cos^2\frac{ \alpha}{2}-\sin^2\frac{ \alpha}{2}}=\frac{3(2\mathrm{ctg}\frac{ \alpha}{2}+2\mathrm{ctg}^2\frac{ \alpha}{2}-2)}{3\mathrm{ctg}\frac{ \alpha}{2}+\mathrm{ctg}^2\frac{ \alpha}{2}-1} =$

$=\displaystyle\frac{3\cdot(2\cdot2+2\cdot 2^2-2)}{3\cdot2+2^2-1}=\frac{30}{9}=\frac{10}{3}$

Answer 2

Для решения данной задачи, воспользуемся тригонометрическими тождествами и условием, что cotangent a/2 равен 2.

Известно, что: ctg(a/2) = 2

Также, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

1. ctg(a) = 1/tan(a)
2. tan(a/2) = √((1 - cos(a)) / (1 + cos(a)))

Из первого тождества: ctg(a) = 1/tan(a) = 1/√((1 - cos(a)) / (1 + cos(a)))

Теперь используем второе тождество: tan(a/2) = √((1 - cos(a)) / (1 + cos(a)))

Зная, что ctg(a/2) = 2, можно заменить cotangent на его значение: 2 = 1/√((1 - cos(a)) / (1 + cos(a)))

Теперь найдем cos(a):

2 = 1/√((1 - cos(a)) / (1 + cos(a))) 2√((1 - cos(a)) / (1 + cos(a))) = 1 4(1 - cos(a)) = (1 + cos(a)) 4 - 4cos(a) = 1 + cos(a) 5cos(a) = 4 cos(a) = 4/5

Теперь, чтобы найти sin(a), можно использовать тригонометрическое тождество: sin^2(a) + cos^2(a) = 1

sin^2(a) + (4/5)^2 = 1 sin^2(a) + 16/25 = 1 sin^2(a) = 1 - 16/25 sin^2(a) = 9/25 sin(a) = √(9/25) = 3/5

Теперь, когда мы знаем значения sin(a) и cos(a), можем найти значение выражения:

3sina + 6cosa / 3sina + cosa

Подставляем значения: 3(3/5) + 6(4/5) / 3(3/5) + 4/5

Выполняем вычисления: (9/5 + 24/5) / (9/5 + 4/5) (33/5) / (13/5)

Делим числитель на знаменатель: (33/5) * (5/13) 33/13

Ответ: Значение выражения равно 33/13.