Question

Решите наревенство (х-4)х в корне 7-х>0

Answer 1

ОДЗ: х от минус бесконечность до 7 (подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю). При х<4 значение выражения отрицательно. При х=4 значение выражения равно нулю. значения больше нуля достигаются при 7>х>4.

Ответ: 7>х>4.

Answer 2

Чтобы решить неравенство $(x-4)x \sqrt{7-x} > 0$, нужно определить интервалы, на которых данное неравенство выполняется.

1. Начнем с поиска точек, которые делают выражение $(x-4)x \sqrt{7-x}$ равным нулю. Эти точки являются критическими точками, где знак выражения может меняться.

$x - 4 = 0 \implies x = 4$

$x = 0$ (Потому что умножение на $x$ дает 0, когда $x = 0$)

$7 - x = 0 \implies x = 7$

2. Разобьем область числовой оси на четыре интервала, используя найденные критические точки: $(-\infty, 0)$, $(0, 4)$, $(4, 7)$, $(7, \infty)$.

3. Выберем тестовую точку в каждом интервале и определим знак выражения $(x-4)x \sqrt{7-x}$ для этой точки.

• Возьмем $x = -1$ для интервала $(-\infty, 0)$: $((-1) - 4)(-1) \sqrt{7-(-1)} = (-5)(-1) \sqrt{8} = 5 \sqrt{8} > 0$

• Возьмем $x = 1$ для интервала $(0, 4)$: $(1 - 4)(1) \sqrt{7-1} = (-3)(1) \sqrt{6} = -3 \sqrt{6} < 0$

• Возьмем $x = 5$ для интервала $(4, 7)$: $(5 - 4)(5) \sqrt{7-5} = (1)(5) \sqrt{2} = 5 \sqrt{2} > 0$

• Возьмем $x = 8$ для интервала $(7, \infty)$: $(8 - 4)(8) \sqrt{7-8} = (4)(8) \sqrt{-1} = 32i$ (где $i$ - мнимая единица)

Теперь мы знаем знак выражения для каждого интервала:

$(-\infty, 0)$: положительное $(0, 4)$: отрицательное $(4, 7)$: положительное $(7, \infty)$: ноль (не входит в диапазон решения, так как в исходном неравенстве не включается равенство)

4. Теперь составим окончательный ответ, объединяя интервалы, где выражение $(x-4)x \sqrt{7-x}$ положительно:

$(-\infty, 0) \cup (4, 7)$

Таким образом, решением неравенства является $x \in (-\infty, 0) \cup (4, 7)$.