Question

Окружность вписанная в ромб ABCD, касается стороны AD в точке K, причем AK:KD= 3:1. Найти радиус окружности, если площадь ромба равна 24√3. Варианты ответа:364√32√3

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать знание о свойствах окружности, вписанной в ромб.

Пусть радиус вписанной окружности равен R, а сторона ромба равна a.

Известно, что площадь ромба равна 24√3. Формула для площади ромба: S = a^2/2, где a - длина стороны ромба.

Таким образом, у нас есть уравнение: a^2/2 = 24√3

Теперь рассмотрим треугольник AKD. По условию, AK:KD=3:1. Мы также знаем, что сумма длин отрезков AK и KD равна длине стороны ромба a.

Пусть AK = 3x и KD = x.

Тогда a = AK + KD = 3x + x = 4x.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AKJ, где J - точка касания окружности с диагональю AC.

В прямоугольном треугольнике AKJ применим теорему Пифагора: AJ^2 + JK^2 = AK^2, (R + R)^2 + (3x)^2 = (4x)^2, 4R^2 + 9x^2 = 16x^2, 4R^2 = 16x^2 - 9x^2, 4R^2 = 7x^2.

Теперь заменим x в уравнении для площади ромба: a^2/2 = 24√3, (4x)^2/2 = 24√3, 8x^2 = 24√3, x^2 = 3√3.

Теперь найдем R: 4R^2 = 7x^2, 4R^2 = 7 * 3√3, 4R^2 = 21√3, R^2 = 21√3 / 4, R = √(21√3) / 2, R = √(21 * √3) / 2, R = √(21) * √(√3) / 2, R = √(21) * √(√3) / 2, R = √(21) * √(3) / 2, R = √(63) / 2, R = √(9 * 7) / 2, R = (3 * √7) / 2.

Теперь приведем результат к виду из списка ответов: R = (3 * √7) / 2 = (3 * √(7 * 3)) / 2 = (3 * √21) / 2.

Таким образом, радиус окружности равен 3 * √21 / 2, что соответствует варианту ответа 364√32√3.