Question

Найти шестой член разложения (х-2)^18

Answer 1

\Big ( x+\frac{1}{x} \Big )^{15}  Шестой член разложения имеет вид:  C_{15}^5\cdot x^{10}\cdot (\frac{1}{x})^{5}= \frac{15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11}{5!}\cdot x^{10}\cdot \frac{1}{x^5}=3003\cdot x^5

Answer 2

Чтобы найти шестой член разложения выражения $(x-2)^{18}$, нам понадобится биномиальный коэффициент. Разложение бинома $(a + b)^n$ можно представить в следующей формуле:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cdot a^{n-k} \cdot b^k$

где $\binom{n}{k}$ представляет биномиальный коэффициент "n по k", который вычисляется следующим образом:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$

Для нашего случая $n = 18$ (показатель степени) и $a = x$, $b = -2$, нам нужно найти шестой член разложения, что соответствует $k = 6$.

Итак, шестой член разложения будет:

$\binom{18}{6} \cdot x^{18-6} \cdot (-2)^6$

Вычислим биномиальный коэффициент:

$\binom{18}{6} = \frac{18!}{6! \cdot (18-6)!} = \frac{18!}{6! \cdot 12!}$

Теперь вычислим числитель и знаменатель отдельно:

Числитель:

$18! = 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

Знаменатель:

$6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ и $12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

Теперь делим числитель на знаменатель:

$\binom{18}{6} = \frac{18!}{6! \cdot 12!} = \frac{(18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13)}{(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}$

$\binom{18}{6} = \frac{18564}{720} = 25$

Теперь подставим значение биномиального коэффициента и упростим:

Шестой член разложения:

$25 \cdot x^{18-6} \cdot (-2)^6 = 25 \cdot x^{12} \cdot 64 = 1600 \cdot x^{12}$

Ответ: Шестой член разложения выражения $(x-2)^{18}$ равен $1600 \cdot x^{12}$.