Question

Равносильны неравенства (x-1)(x+2)<3x+3 и x+x<2

Answer 1

Для определения равносильности надо их оба решить

$1)~(x-1)(x+2)$

Как видно, множество решений первого неравенства не совпадает со множеством решений второго, сл-но, два неравенства не равносильны.

Answer 2

Давайте решим каждое неравенство по отдельности и проверим их эквивалентность.

1. Неравенство (x-1)(x+2) < 3x + 3:

Раскроем скобки:

(x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2 < 3x + 3

Теперь приведем всё к одной стороне неравенства:

x^2 + x - 2 - 3x - 3 < 0

Упростим выражение:

x^2 - 2x - 5 < 0

2. Неравенство x + x < 2:

Упростим левую часть:

2x < 2

Теперь поделим обе части на 2:

x < 1

Теперь, чтобы найти значения x, для которых оба неравенства выполнены одновременно, нужно найти пересечение областей, определенных каждым из неравенств.

Первое неравенство: x^2 - 2x - 5 < 0

Давайте решим его с использованием метода интервалов знакопеременности:

1. Найдем корни уравнения x^2 - 2x - 5 = 0: x = (-(-2) ± √((-2)^2 - 41(-5))) / (2*1) x = (2 ± √(4 + 20)) / 2 x = (2 ± √24) / 2 x = (2 ± 2√6) / 2

2. Упростим выражение: x = 1 ± √6

Таким образом, получаем два значения: x₁ = 1 - √6 ≈ -1.44949 x₂ = 1 + √6 ≈ 2.44949

Теперь проверим, в каких интервалах между корнями неравенство выполнено:

-∞ < x < x₁: Значение x^2 - 2x - 5 будет положительным, так как оба множителя (x - x₁) и (x - x₂) отрицательны. Таким образом, неравенство не выполняется на этом интервале. x₁ < x < x₂: Значение x^2 - 2x - 5 будет отрицательным, так как множитель (x - x₁) положительный, а множитель (x - x₂) отрицательный. Таким образом, неравенство выполняется на этом интервале. x > x₂: Значение x^2 - 2x - 5 будет положительным, так как оба множителя (x - x₁) и (x - x₂) положительны. Таким образом, неравенство не выполняется на этом интервале.

Теперь рассмотрим второе неравенство: x < 1.

В итоге, оба неравенства равносильны тогда и только тогда, когда x принадлежит интервалу: 1 - √6 < x < 1

Таким образом, для значения x в этом интервале выполняются оба исходных неравенства.