Question

 Решите даю 40 баллов!!! Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абоненты обращаются на станцию, равна 0,01.Найти вероятность того, что в течении одной минуты будут обращаться на станцию: а) 4 абонента позвонят на станцию; б) меньше, чем 4 абонента; в) хотя бы один абонент позвонит на станцию. Нужно подробное решение!!

Answer 1

Как-то так///////////

Answer 2

Для решения этой задачи будем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть определенное количество испытаний (абоненты) и вероятность успеха (абонент обращается на станцию) за одно испытание.

Пусть:

• n = 400 - общее количество абонентов,
• p = 0,01 - вероятность того, что абонент обратится на станцию за одну минуту,
• X - случайная величина, обозначающая количество абонентов, обратившихся на станцию за одну минуту.

а) Найти вероятность того, что 4 абонента позвонят на станцию: Для этого мы можем использовать формулу биномиального распределения:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k),

где C(n, k) - число сочетаний из n по k, равное n! / (k! * (n - k)!).

Теперь рассчитаем:

P(X = 4) = C(400, 4) * (0,01)^4 * (1 - 0,01)^(400 - 4).

Для вычисления C(400, 4) используем формулу C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!):

C(400, 4) = 400! / (4! * (400 - 4)!) = 400! / (4! * 396!) = (400 * 399 * 398 * 397) / (4 * 3 * 2 * 1) ≈ 3 960 760.

Теперь подставим все значения в формулу:

P(X = 4) ≈ 3 960 760 * (0,01)^4 * (1 - 0,01)^(400 - 4) ≈ 0,2505.

Ответ: Вероятность того, что 4 абонента позвонят на станцию, составляет около 0,2505 или 25,05%.

б) Найти вероятность того, что меньше, чем 4 абонента обратятся на станцию: Это означает, что мы должны найти вероятность P(X < 4), что равно сумме вероятностей P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2) и P(X = 3).

P(X < 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3).

Для P(X = 0):

P(X = 0) = C(400, 0) * (0,01)^0 * (1 - 0,01)^(400 - 0).

C(400, 0) = 400! / (0! * (400 - 0)!) = 1.

P(X = 0) = 1 * (0,01)^0 * (1 - 0,01)^400 ≈ 0,6702.

Для P(X = 1):

P(X = 1) = C(400, 1) * (0,01)^1 * (1 - 0,01)^(400 - 1).

C(400, 1) = 400! / (1! * (400 - 1)!) = 400.

P(X = 1) = 400 * (0,01)^1 * (1 - 0,01)^399 ≈ 0,2707.

Для P(X = 2):

P(X = 2) = C(400, 2) * (0,01)^2 * (1 - 0,01)^(400 - 2).

C(400, 2) = 400! / (2! * (400 - 2)!) = (400 * 399) / (2 * 1) ≈ 79 800.

P(X = 2) = 79 800 * (0,01)^2 * (1 - 0,01)^398 ≈ 0,0547.

Для P(X = 3):

P(X = 3) = C(400, 3) * (0,01)^3 * (1 - 0,01)^(400 - 3).

C(400, 3) = 400! / (3! * (400 - 3)!) = (400 * 399 * 398) / (3 * 2 * 1) ≈ 31 352 000.

P(X = 3) = 31 352 000 * (0,01)^3 * (1 - 0,01)^397 ≈ 0,0037.

Теперь найдем сумму:

P(X < 4) ≈ 0,6702 + 0,2707 + 0,0547 + 0,0037 ≈ 1,0003.

Ответ: Вероятность того, что меньше, чем 4 абонента позвонят на станцию, составляет около 1,0003 или 100,03%.

в) Найти вероятность того, что хотя бы один абонент позвонит на станцию: Для этого нам нужно найти вероятность события, которое является дополнением к событию "ни один абонент не позвонит на станцию".

P(хотя бы один абонент) = 1 - P(ни один абонент).

P(ни один абонент) = P(X = 0) ≈ 0,6702 (посчитано ранее).

P(хотя бы один абонент) ≈ 1 - 0,6702 ≈ 0,3298.

Ответ: Вероятность того, что хотя бы один абонент позвонит на станцию, составляет около 0,3298 или 32,98%.

Пожалуйста, обратите внимание, что вероятности округлены до четырех знаков после запятой.