Question

Коллинеарны ли векторы c1=2а+4b и c2=3b-a, построенные по векторам a=i-2j+3k и b=3i-k?

Answer 1

$a=i-2j+3k,b=3i+k\\c_1=2a+4b=14i-4j+10k,c_2=8i+2j\\c_2x/c_1x=k_x=4/7,c_2y/c_1y=k_y=-1/2,c_2z/c_1z=k_z=0\\k_x\neq k_y\neq k_z$

Неколлинеарны

Answer 2

Для определения коллинеарности векторов c₁ и c₂, нужно проверить, существует ли такая константа k, что c₂ = k * c₁.

Давайте сначала найдем векторы c₁ и c₂:

Для вектора a = i - 2j + 3k: c₁ = 2a + 4b = 2(i - 2j + 3k) + 4(3i - k) = 2i - 4j + 6k + 12i - 4k = 14i - 4j + 2k

Для вектора b = 3i - k: c₂ = 3b - a = 3(3i - k) - (i - 2j + 3k) = 9i - 3k - i + 2j - 3k = 8i + 2j - 6k

Теперь мы имеем векторы c₁ и c₂: c₁ = 14i - 4j + 2k c₂ = 8i + 2j - 6k

Теперь, чтобы проверить коллинеарность, найдем отношение компонент векторов c₁ и c₂:

Отношение для x-компонент: 14 / 8 = 1.75

Отношение для y-компонент: -4 / 2 = -2

Отношение для z-компонент: 2 / -6 = -0.33(3)

Если векторы были бы коллинеарны, отношения всех компонент должны были бы быть равны. Но в данном случае они не равны, поэтому векторы c₁ и c₂ не коллинеарны.