Question

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) равен основанию АС.На основании АС построен квадрат АКLС так,что отрезок KL пересекает боковые стороны треугольника.Докажите ,что треугольник BKL равносторонний

Answer 1

Пусть О -центр описанной окружности. ОВ параллелен и равен АК.

Действительно -центрО у равнобедренного треугольниа лежит на высоте к АС , поэтому ВО параллельно КА и ВО=ОА, а КА=АС=ОА.

Значит КВАО-параллелограм. КВ=АО. Точно также ВL=ОВ=АО. Но КL=АО.

Значит ВКL-равносторонний

Answer 2

Задача к рисунку в приложении.

Если сторона квадрата равна радиусу, то ΔАОС - равносторонний, как часть шестиугольника.

ΔКВL = ΔOAC

Answer 3

Для доказательства того, что треугольник BKL равносторонний, рассмотрим ситуацию и воспользуемся свойствами данной конфигурации.

По условию, у нас есть равнобедренный треугольник АВС, где AB = BC и радиус описанной окружности (продолжение биссектрисы) равен основанию AC.

Построим треугольник АДС, где D - центр описанной окружности треугольника АВС. Также нарисуем радиусы окружности OD, OB, OC. Треугольник АОС также равнобедренный, так как OA = OC (радиусы окружности), и AO = OS (так как АО - радиус описанной окружности АВС, а OS - высота равнобедренного треугольника АОС).

Теперь рассмотрим квадрат АКLС, построенный на основании AC. Пусть M - точка пересечения отрезка KL с AB, и N - точка пересечения KL с BC.

Из свойств квадрата, у нас имеется:

1. AK = KL = LC (так как квадрат)
2. AN = NC (так как KL - высота треугольника АСN, и СN - тоже равнобедренный треугольник)

Далее, обратим внимание на треугольник AMN:

3. AN = NM (так как MN - это высота треугольника АВМ, и он равнобедренный)
4. AM = AB + BM = AB + BL = AC (так как AM и AC - радиусы окружности, а BL = KL = AC)

Таким образом, у нас получается, что треугольник AMN является равносторонним, так как у него три равные стороны: AN = NM и AM = AC. Это означает, что углы треугольника AMN также равны 60 градусам.

Из равенства углов AMN и ANM, у нас также получается, что углы MAN и MNA равны 60 градусам.

Теперь рассмотрим треугольник BKL. У нас есть:

5. BM = MA (так как треугольники AMN и BMN - равнобедренные)
6. BM = BL (так как KLMN - прямоугольник, и BM и BL - его диагонали)

Из (5) и (6) следует, что треугольник BKL также является равнобедренным, и, так как углы MNB и MBC равны 60 градусам, у нас получается, что углы BKL и BLK тоже равны 60 градусам.

Таким образом, треугольник BKL является равносторонним, так как у него три равные стороны и три равных угла, что и требовалось доказать.