Question

На гіпотенузі АВ прямокутного трикутника АВС вибрана точка К, для якої СК = ВС. Відрізок СК перетинає бісектрису АМ в її середині. Знайти кути трикутника АВС.

Answer 1

на вкладці...................

Answer 2

Для знаходження кутів трикутника АВС, спочатку розглянемо властивості, що випливають з даної умови.

1. За теоремою Піфагора у прямокутному трикутнику АВС: AB^2 = AC^2 + BC^2.

2. За теоремою про бісектрису трикутника, точка М ділить сторону АВ на дві частини пропорційно до довжин інших сторін трикутника. Тобто: AM/MB = AC/BC.

3. З останньої умови (СК = ВС) можна отримати, що трикутник СКВ є рівнобедреним, тобто SC = BC.

З використанням цих умов ми можемо продовжити розв'язок:

Для початку позначимо довжину СК як x (також це буде довжина ВС за умовою). Тоді, довжина ВМ буде також x (так як ВМ є бісектрисою трикутника АВС).

За теоремою Піфагора для трикутника СКВ: BC^2 = CK^2 + VK^2.

Ми вже знаємо, що BC = x, а також CK = x (за умовою СК = ВС). Підставляючи ці значення, маємо:

x^2 = x^2 + VK^2.

VK^2 = 0.

Отже, VK = 0. Це означає, що точка В співпадає з точкою М (адже ВК є прямою лінією). Таким чином, трикутник АВС є рівнобедреним трикутником з вершинами А, С і В, де ВМ є бісектрисою кута А.

Тепер можемо знайти кути трикутника АВС.

Позначимо кут АВС як α і кут АСВ як β.

Оскільки трикутник АВС є рівнобедреним, то кути АСВ і АВС є рівними, тобто α = β.

Також відомо, що сума всіх кутів в трикутнику дорівнює 180°.

Знаючи ці два факти, можемо записати рівняння:

α + α + β = 180°.

Замінюємо β на α:

2α + α = 180°.

Розв'язуємо рівняння:

3α = 180°.

α = 60°.

Таким чином, кут АВС (або АСВ) дорівнює 60°, а кут АСВ (або АВС) також дорівнює 60°.

Отже, кути трикутника АВС дорівнюють 60°, 60° і 90°.