Question

Решить систему уравнений методом Гаусса: 2x+y-z=7 2x-2y+3z=3 x-y-z=4

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для решения системы уравнений методом Гаусса, мы должны привести систему к ступенчатому или улучшенному ступенчатому виду, а затем обратным ходом выразить переменные.

Исходная система уравнений:

1. 2x + y - z = 7
2. 2x - 2y + 3z = 3
3. x - y - z = 4

Шаг 1: Преобразование матрицы системы и свободных членов: Преобразуем исходную систему уравнений в матричную форму Ax = b:

| 2 1 -1 | | x | | 7 | | 2 -2 3 | * | y | = | 3 | | 1 -1 -1 | | z | | 4 |

Шаг 2: Приведение матрицы к ступенчатому виду: Выполним элементарные преобразования над строками матрицы, чтобы получить ступенчатую форму.

a) Вычтем из второй строки первую строку, умноженную на 1: | 2 1 -1 | | x | | 7 | | 0 -3 4 | * | y | = | -4 | | 1 -1 -1 | | z | | 4 |

b) Вычтем из третьей строки первую строку, умноженную на 0.5: | 2 1 -1 | | x | | 7 | | 0 -3 4 | * | y | = | -4 | | 0 -1 -0.5 | | z | | 1 |

c) Вычтем из третьей строки вторую строку, умноженную на -1/3: | 2 1 -1 | | x | | 7 | | 0 -3 4 | * | y | = | -4 | | 0 0 -2/3 | | z | | 5/3 |

Шаг 3: Обратный ход Теперь обратным ходом найдем значения переменных.

1. Из третьего уравнения: -2/3 * z = 5/3 => z = -5/2
2. Из второго уравнения: -3y + 4 * (-5/2) = -4 => -3y - 10 = -4 => -3y = -4 + 10 => -3y = 6 => y = -2
3. Из первого уравнения: 2x + (-2) + 5/2 = 7 => 2x = 7 + 2 - 5/2 => 2x = 17/2 => x = 17/4

Ответ: x = 17/4, y = -2, z = -5/2.