Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке (а б) y=27x-1/4x^4;[-1;4]

Answer 1

F'(x) = 27-(1/4)*4*x^3 = 27-x^3.
f'(x) = 0;
27-x^3 = 0.
x^3 = 27.
x = 3 - стационарная точка.
тройка входит в промежуток [-1;4].
1). f(-1) = 27*(-1)-1/4*(-1)^4 = -27-1/4 = -27,25.
2). f(3) = 27*3-1/4*3^4 = 81-20,25 = 60,75.
3). f(4) = 27*4-1/4*4^4 = 108 - 64 = 44.

ответ : -27,25 - наим.
60,75 - наиб.

Answer 2

Для найти наибольшее и наименьшее значение функции $y = 27x - \frac{1}{4}x^4$ на отрезке $[-1, 4]$, мы должны проанализировать поведение функции на этом отрезке.

Шаг 1: Найдем критические точки функции. Критические точки - это точки, где производная функции равна нулю или не существует. В этих точках функция может достигать экстремумов (максимумов или минимумов).

Шаг 2: Определим значения функции в критических точках и на концах отрезка $[-1, 4]$.

Шаг 3: Сравним найденные значения, чтобы определить наибольшее и наименьшее значение функции.

Давайте проделаем каждый шаг:

Шаг 1: Найдем производную функции $y = 27x - \frac{1}{4}x^4$:

$y' = 27 - x^3$

Шаг 2: Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю:

$27 - x^3 = 0$

$x^3 = 27$

$x = \sqrt[3]{27} = 3$

Теперь определим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

1. При $x = -1$:

$y = 27(-1) - \frac{1}{4}(-1)^4 = -27 - \frac{1}{4} = -\frac{109}{4}$

2. При $x = 3$:

$y = 27(3) - \frac{1}{4}(3)^4 = 81 - \frac{81}{4} = \frac{243}{4}$

3. При $x = 4$:

$y = 27(4) - \frac{1}{4}(4)^4 = 108 - 16 = 92$

Шаг 3: Сравним найденные значения:

Наименьшее значение функции: $y = -\frac{109}{4}$

Наибольшее значение функции: $y = \frac{243}{4}$

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[-1, 4]$ равно $-\frac{109}{4}$, а наибольшее значение равно $\frac{243}{4}$.