Question

Найдите наименьшее из натуральных чисел, разложение на простые множители которых имеет вид 3^m×5^n(m,n принадлежит N) и число делителей равно 6.

Answer 1

Число $3^{m}\cdot 5^n$ имеет $(m+1)(n+1)$ число делителей и по условию равно 6.

Т.е. решим уравнение $(m+1)(n+1)=6$ в натуральных числах. Для $m,n \in \mathbb{N}$ имеем две системы уравнений.

$\displaystyle \left \{ {{m+1=3} \atop {n+1=2}} \right.~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{m=2} \atop {n=1}} \right.\\ \\ \left \{ {{m+1=2} \atop {n+1=3}} \right.~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{m=1} \atop {n=2}} \right.$

Имеем $3^2\cdot 5=45$ или $3\cdot 5^2=75$ откуда наименьшее число это 45.

Ответ: 45.

Answer 2

Чтобы найти наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет условиям, нужно рассмотреть все возможные комбинации степеней простых множителей 3 и 5, начиная с наименьших возможных значений и искать такое число, у которого количество делителей равно 6.

Разложим число на простые множители 3^m * 5^n:

Для количества делителей равного 6, число должно иметь один из следующих видов:

1. p^5 (где p - простое число) - в этом случае имеем 3^5 или 5^5, но 3^5 = 243, а 5^5 = 3125, и оба этих числа не удовлетворяют условиям (3^5 * 5^0 и 3^0 * 5^5 имеют больше делителей).

2. p^2 * q (где p и q - различные простые числа) - возможными вариантами являются 3^2 * 5 = 45 и 5^2 * 3 = 75.

3. p^4 * q (где p и q - различные простые числа) - этот вариант не дает минимального числа, так как 3^4 * 5 = 405, и у него больше делителей.

Сравним числа 45 и 75. Узнаем, какое из них имеет меньшее значение:

45 = 3^2 * 5^1 (имеет (2+1) * (1+1) = 6 делителей: 1, 3, 5, 9, 15, 45) 75 = 3^1 * 5^2 (имеет (1+1) * (2+1) = 6 делителей: 1, 3, 5, 15, 25, 75)

Наименьшее из натуральных чисел, разложение на простые множители которых имеет вид 3^m * 5^n, а число делителей равно 6, это 45.