Question

Помогите пожалуйста решить. Сберкасса выплачивает 3% годовых. Через сколько лет внесенная сумма удвоится?

Answer 1

Через три года сберкасса выплатит 6 %

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать формулу для сложных процентов и найти время удвоения внесенной суммы.

Формула для сложных процентов: $A = P(1 + r/n)^(n*t)$

Где:

• $A$ - конечная сумма (удвоенная сумма)
• $P$ - начальная сумма (внесенная сумма)
• $r$ - процентная ставка в десятичном формате (в данном случае 3% или 0.03)
• $n$ - количество раз, когда происходит начисление процентов за год (обычно 1 раз в год)
• $t$ - время в годах

Мы хотим найти значение $t$, при котором $A$ станет равным 2 * $P$ (удвоенная сумма равна начальной сумме, умноженной на 2).

Таким образом, у нас есть следующее уравнение: $2P = P(1 + 0.03/n)^(n*t)$

Чтобы найти $t$, давайте упростим это уравнение: $2 = (1 + 0.03/n)^(n*t)$

Теперь возьмем логарифм от обеих сторон уравнения, чтобы избавиться от показателя степени: $\log(2) = \log((1 + 0.03/n)^(n*t))$

С помощью свойства логарифма $\log(a^b) = b \cdot \log(a)$ мы можем переписать уравнение: $\log(2) = n * t \cdot \log(1 + 0.03/n)$

И, наконец, решаем уравнение относительно $t$: $t = \frac{\log(2)}{n \cdot \log(1 + 0.03/n)}$

Для этого примера, предположим, что проценты начисляются ежегодно, то есть $n = 1$. Подставим это значение и рассчитаем $t$:

$t = \frac{\log(2)}{1 \cdot \log(1 + 0.03/1)}$ $t = \frac{\log(2)}{\log(1.03)} \approx 23.45$

Таким образом, примерно через 23.45 лет внесенная сумма удвоится при 3% годовых и начислении процентов ежегодно. Обратите внимание, что округление времени в большую или меньшую сторону зависит от условий задачи.