Question

Обчислити площу фігури яку обмедено графіками функції y=x²-6x; y=x-11

Answer 1

ДАНО: y1 = x² - 6*x,  y2 = x - 11.

НАЙТИ: Площадь фигуры.

Площадь фигуры - интеграл разности функций.

РЕШЕНИЕ

Находим пределы интегрирования - приравняем функции.

x² - 6*x = x - 11 получаем  x² - 7*x + 11 - квадратное уравнение.

Корни (приблизительно: b = 2.38,  a = 4.62.

Записываем разность функций до интегрирования.

s = -11 + 7*x - x² - интегрируем и получаем:

S(x) = - 11*x + 3.5*x² - 0.333*x³

Вычисляем на границах интегрирования:

S(4.62) = - 50.798 + 74.642 - 32.828 = - 8.985.

S(2.38) = - 26.202  + 19.858 - 4.505 = - 10.848

Находим разность интегралов и получаем площадь:

S = - 8.985 - (-10.848) = 1.863 - площадь - ОТВЕТ

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої графіками функцій y = x² - 6x та y = x - 11, спочатку знайдемо точки їх перетину. Ці точки будуть визначати межі інтегрування для обчислення площі.

По-перше, знайдемо точку перетину:

x² - 6x = x - 11

Прирівнюємо рівняння до нуля:

x² - 6x - x + 11 = 0

x² - 7x + 11 = 0

Застосуємо квадратне рівняння для знаходження значень x:

x = (-(-7) ± √((-7)² - 4 * 1 * 11)) / 2 * 1

x = (7 ± √(49 - 44)) / 2

x = (7 ± √5) / 2

Таким чином, ми отримали дві точки перетину:

x₁ = (7 + √5) / 2 ≈ 3.79

x₂ = (7 - √5) / 2 ≈ 1.21

Тепер, ми можемо обчислити площу між цими функціями шляхом знаходження відповідного інтегралу:

Площа = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx, де f(x) - функція, що перебуває зверху (у цьому випадку y = x - 11), g(x) - функція, що перебуває знизу (у цьому випадку y = x² - 6x), a, b - точки перетину (a = 1.21, b = 3.79).

Площа = ∫[1.21, 3.79] ((x - 11) - (x² - 6x)) dx

Площа = ∫[1.21, 3.79] (x - 11 - x² + 6x) dx

Площа = ∫[1.21, 3.79] (-x² + 7x - 11) dx

Тепер обчислимо цей інтеграл:

Площа = [- (x³/3) + (7x²/2) - 11x] от 1.21 до 3.79

Площа = - ((3.79)³/3) + (7 * (3.79)²/2) - 11 * 3.79 - (- ((1.21)³/3) + (7 * (1.21)²/2) - 11 * 1.21)

Площа ≈ -22.61

Отже, площа фігури, обмеженої графіками функцій y = x² - 6x та y = x - 11, приблизно дорівнює 22.61 квадратними одиницями. Зверніть увагу, що значення площі від'ємне, оскільки функція y = x² - 6x розташована вище за функцію y = x - 11 в заданому інтервалі. Отже, ми взяли модуль результату, щоб отримати позитивне значення площі.