Question

Докажите что при любом значении n дробь n^3-2n^2+n-1/n^2+1 не является целым числом

Answer 1

Пусть n^3-2n^2+n-1=кn^2+к, где к -целое.

n^2*(n-2-k)=1+k-n

n^2*(n-2-k)=2+k-n-1

(n^2+1)*(n-2-k)=-1

Очевидно в условии должно быть  сказано натуральном  n , иначе при n равном 0, выражение целое!

-----------------------------------------------------------------------------

При натуральном n, очевидно последнее равенство не выполняется.

(подставим n=3+k или n=1+k и убедимся в том, что равенство не выполняется.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая. Для n = 1, дробь примет следующий вид: (1^3 - 2 * 1^2 + 1 - 1) / (1^2 + 1) = (1 - 2 + 1 - 1) / 2 = -1 / 2 Очевидно, что -1 / 2 не является целым числом. Базовый случай выполняется.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что для некоторого целого числа k дробь (k^3 - 2k^2 + k - 1) / (k^2 + 1) не является целым числом.

Шаг 3: Доказательство. Рассмотрим случай n = k + 1: ((k+1)^3 - 2(k+1)^2 + (k+1) - 1) / ((k+1)^2 + 1)

Раскроем скобки в числителе: (k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - 2k^2 - 4k - 2 + k + 1 - 1) / (k^2 + 2k + 1 + 1) (k^3 + k^2 - 2k^2 + 3k - 4k + k - 1) / (k^2 + 2k + 2)

Упростим числитель: (k^3 - k^2 + 4k - 1) / (k^2 + 2k + 2)

Теперь разделим числитель на знаменатель: (k^2(k - 1) + 4k - 1) / (k^2 + 2k + 2)

Мы знаем, что числитель не делится на k^2 + 1 (по предположению индукции), а k^2 + 2k + 2 > k^2 + 1 для любого натурального k. Следовательно, дробь не может быть целым числом при n = k + 1.

Шаг 4: Заключение. Мы доказали, что если для некоторого целого числа k дробь (k^3 - 2k^2 + k - 1) / (k^2 + 1) не является целым числом, то это верно и для n = k + 1. Таким образом, по принципу математической индукции, данное утверждение выполняется для любого натурального числа n.