Question

Построить график функции y=x2+4x-5. Определить возрастание и убывание, нули функции координаты и вершины.

Answer 1

смотри решение в фото

Answer 2

Для построения графика функции y = x^2 + 4x - 5 и определения её свойств, давайте сначала проанализируем уравнение:

y = x^2 + 4x - 5

Чтобы найти нули функции (точки, где функция равна нулю), нужно решить уравнение y = 0:

0 = x^2 + 4x - 5

Это квадратное уравнение. Можно решить его, используя квадратную формулу:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 1, b = 4 и c = -5.

x = (-(4) ± √(4^2 - 4 * 1 * (-5))) / 2 * 1 x = (-4 ± √(16 + 20)) / 2 x = (-4 ± √36) / 2 x = (-4 ± 6) / 2

Таким образом, получим две точки:

x₁ = (-4 + 6) / 2 = 1 x₂ = (-4 - 6) / 2 = -5

Теперь найдем координаты вершины квадратного графика. Вершина квадратной функции находится по формуле:

x_вершины = -b / (2a) y_вершины = f(x_вершины)

где a = 1 и b = 4.

x_вершины = -4 / (2 * 1) = -2 y_вершины = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9

Таким образом, вершина графика имеет координаты (-2, -9).

Теперь определим, когда функция возрастает и убывает. Функция возрастает, когда её производная положительна, и убывает, когда производная отрицательна. Найдем производную функции:

y' = d/dx (x^2 + 4x - 5) y' = 2x + 4

Теперь приравняем производную к нулю и найдем точки, где производная равна нулю:

2x + 4 = 0 2x = -4 x = -2

Когда x = -2, производная равна нулю. Если мы возьмем точку справа от x = -2 (например, x = 0), то производная будет положительной (2 * 0 + 4 = 4), что означает, что функция возрастает. Если возьмем точку слева от x = -2 (например, x = -4), то производная будет отрицательной (2 * (-4) + 4 = -4), что означает, что функция убывает.

Теперь, когда у нас есть все необходимые данные, давайте построим график функции:

scssCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Задаем функцию
def func(x):
    return x**2 + 4*x - 5

# Создаем массив значений x от -10 до 10
x = np.linspace(-10, 10, 400)

# Вычисляем соответствующие значения y
y = func(x)

# Рисуем график
plt.plot(x, y, label='y = x^2 + 4x - 5')
plt.scatter([-5, 1], [0, 0], color='red', label='Нули функции')
plt.scatter(-2, -9, color='green', label='Вершина')
plt.axvline(x=-2, color='gray', linestyle='--', label='x=-2 (точка экстремума)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.axhline(y=0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(x=0, color='black', linewidth=0.5)
plt.title('График функции y = x^2 + 4x - 5')
plt.show()

На графике видно, что функция имеет два нуля: x = -5 и x = 1. Вершина функции находится в точке (-2, -9). Функция возрастает на интервале (-∞, -2) и убывает на интервале (-2, +∞). Вертикальная пунктирная линия обозначает место, где производная равна нулю и функция достигает своего экстремума.