Question

Задано рівняння двох сторін паралелограма: 8х+3у+1, 2х+у-1 і рівняння однієї з діагоналей 3х+2у+3=0. Визначити координати вершин цього паралелограма

Answer 1

Находим точку пересечения сторон, решив систему уравнений.

1) 8x + 3y = -1

2) 2x + y = 1

Применяем метод Гаусса.

3) 8*x + 4*y = 4 - умножили на 4 ур. 2)

4)  y = 5,  x = - 2 - точка А(-2;5)

Также пересечение с диагональю.

5)  8x + 3y = -1

6) 3x + 2y = - 3

7) 24x + 9y = -3

8) 24x +16y = - 24

9) - 7*y = 21

10) y = -3,  x = 1.   Точка В(1;-3)

И так же для третьей точки пересечения.

11)  2x + y = 1

12) 3x + 2y = -3

13) x = 5, y = -9.  Точка С(5;-9)

Решение не закончено. Рисунок к задаче в приложении.

Answer 2

Щоб знайти координати вершин паралелограма, спочатку потрібно знайти його вершини, а потім перевірити, які з них належать паралелограму.

1. Знайдемо точки перетину рівнянь сторін паралелограма і діагоналі.
2. Знайдемо вершини паралелограма, використовуючи знайдені точки перетину.

Крок 1: Знайдемо точку перетину рівнянь сторін паралелограма (8x + 3y + 1 = 0) і (2x + y - 1 = 0):

Для цього, розв'яжемо цю систему рівнянь:

Спосіб 1 - Застосуємо метод заміни:

1. 8x + 3y + 1 = 0
2. 2x + y - 1 = 0

З методу заміни, з рівняння (2) виразимо y: y = 1 - 2x

Підставимо y у рівняння (1): 8x + 3(1 - 2x) + 1 = 0 8x + 3 - 6x + 1 = 0 2x + 4 = 0 2x = -4 x = -2

Тепер знайдемо y, підставивши x у рівняння (2): y = 1 - 2(-2) y = 1 + 4 y = 5

Отже, перша точка перетину має координати (-2, 5).

Спосіб 2 - Застосуємо метод додавання:

1. 8x + 3y + 1 = 0
2. 2x + y - 1 = 0

З методу додавання, помножимо рівняння (2) на 3: 3(2x + y - 1) = 3(0) 6x + 3y - 3 = 0

Тепер віднімемо рівняння (1) від отриманого рівняння: (6x + 3y - 3) - (8x + 3y + 1) = 0 6x + 3y - 3 - 8x - 3y - 1 = 0 -2x - 4 = 0 -2x = 4 x = -2

Тепер знайдемо y, підставивши x у рівняння (2): y = 1 - 2(-2) y = 1 + 4 y = 5

Отже, друга точка перетину також має координати (-2, 5).

Крок 2: Знайдемо вершини паралелограма.

Тепер, маючи дві точки перетину сторін паралелограма, ми можемо знайти інші дві вершини, додавши або віднімаючи діагональні відстані від знайдених точок.

Діагональ має рівняння 3x + 2y + 3 = 0.

Перевіримо, яка знайдена точка належить діагоналі, підставляючи координати (-2, 5) і перевіряючи, чи задовольняє вона рівнянню діагоналі:

3(-2) + 2(5) + 3 = -6 + 10 + 3 = 7, що не дорівнює 0.

Тобто, точка (-2, 5) не належить діагоналі.

Таким чином, паралелограм має вершини (-2, 5), але другі дві вершини повинні бути на діагоналі. Знайдемо другу точку діагоналі:

3x + 2y + 3 = 0 3x + 2y = -3 2y = -3 - 3x y = (-3 - 3x) / 2

Підставимо довільне значення x і знайдемо відповідне y. Наприклад, при x = 0:

y = (-3 - 3(0)) / 2 y = -3/2

Таким чином, друга точка діагоналі має координати (0, -3/2).

Тепер знайдемо інші дві вершини паралелограма, додавши або віднімаючи діагональні відстані від (-2, 5):

Третя вершина: (-2, 5) + (0, -3/2) = (-2, 5 - 3/2) = (-2, 3.5)

Четверта вершина: (-2, 5) - (0, -3/2) = (-2, 5 + 3/2) = (-2, 6.5)

Отже, вершини паралелограма мають координати:

1. (-2, 5)
2. (0, -3/2)
3. (-2, 3.5)
4. (-2, 6.5)

Ці чотири точки утворюють вершини паралелограма.