Question

Решите систему уравнений x^2=5x+3y y^2=3x+5y

Answer 1

Решение в приложении.

Ответ: х₁=0, у₁=0;

           х₂=8, у₂=8;

          х₃=1+√7, у₃=1-√7;

          х₄=1-√7, у₄=1+√7.

Answer 2

Для решения данной системы уравнений x^2=5x+3y и y^2=3x+5y, можно воспользоваться различными методами, однако, наиболее удобным здесь будет метод подстановки.

Шаг 1: Решим первое уравнение относительно y: x^2 = 5x + 3y 3y = x^2 - 5x y = (x^2 - 5x) / 3

Шаг 2: Подставим выражение для y во второе уравнение: y^2 = 3x + 5y [(x^2 - 5x) / 3]^2 = 3x + 5[(x^2 - 5x) / 3]

Шаг 3: Упростим уравнение и приведем его к виду квадратного уравнения: [(x^2 - 5x) / 3]^2 = 3x + (5x^2 - 25x) / 3 [(x^2 - 5x) / 3]^2 = (3 * 3x + 5x^2 - 25x) / 3 [(x^2 - 5x) / 3]^2 = (15x^2 - 20x) / 3 (x^2 - 5x)^2 = 5x^2 - 20x

Шаг 4: Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения: x^4 - 10x^3 + 25x^2 = 5x^2 - 20x x^4 - 10x^3 + 20x^2 + 20x = 0

Шаг 5: Попробуем разложить на множители: x(x^3 - 10x^2 + 20x + 20) = 0

Теперь у нас есть два возможных случая:

1. x = 0: Если x = 0, то из первого уравнения получаем y = (0^2 - 5 * 0) / 3 = 0 / 3 = 0. Таким образом, одно из возможных решений системы - x = 0, y = 0.

2. Решим уравнение x^3 - 10x^2 + 20x + 20 = 0 численно: Для нахождения остальных корней воспользуемся численными методами. В данном случае, предположим, что x = 1 является корнем, и воспользуемся методом деления с остатком (синтетическим делением):

   markdownCopy code
   1 |  1  -10  20  20
      |   1   -9  11  31
      |________________
       1   -9  11  31
   

Таким образом, уравнение сводится к x^3 - 9x^2 + 11x + 31 = 0. Заметим, что x = 1 является корнем, так как остаток равен нулю.

Теперь факторизуем уравнение: (x - 1)(x^2 - 8x - 31) = 0

Решим вторую часть уравнения x^2 - 8x - 31 = 0, используя квадратное уравнение: x = (8 ± √(8^2 - 4 * 1 * (-31))) / 2 x = (8 ± √(64 + 124)) / 2 x = (8 ± √188) / 2 x = (8 ± √(4 * 47)) / 2 x = (8 ± 2√47) / 2 x = 4 ± √47

Таким образом, получаем два дополнительных решения: x = 4 + √47 и x = 4 - √47. Для каждого из этих значений x, можно найти соответствующие значения y, используя первое уравнение.

Таким образом, итоговыми решениями системы являются:

1. x = 0, y = 0
2. x = 4 + √47, y = (x^2 - 5x) / 3
3. x = 4 - √47, y = (x^2 - 5x) / 3